%
% 02-algebra.tex
%
% Developed by Ondrej Jombik <nepto@platon.sk>
% Copyright (c) 2005 Platon SDG, http://platon.sk/
% Licensed under terms of GNU General Public License.
% All rights reserved.
%
% Changelog:
% 2005-01-15 - created
%

% $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.9 2005/01/18 18:18:42 nepto Exp $

\chapter{Algebra}

\section{Úvod} % /*

\begin{defn}
\underline{Usporiadaná dvojica:} $(a, b) = \{ \{ a \}, \{ a, b \} \}$
\end{defn}

\begin{defn}
\underline{Karteziánsky súčin $A$, $B$:}
$A \times B = \{ (a, b) ~|~ a \in A, b \in B \}$
\end{defn}

\begin{defn}
\underline{Relácia $\varphi$:} $\varphi \subseteq A \times B$

\begin{enumerate}
	\item reflexívna: $(x, x) \in \varphi$
	\item symetrická: $(x, y) \in \varphi \Rightarrow (y, x) \in \varphi$
	\item tranzitívna: $(x, y) \in \varphi \land (y, z) \in \varphi \Rightarrow (x, z) \in \varphi$
\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
\underline{Zobrazenie:} taká relácia $\varphi$, že $\forall x \in A:
\exists ! y \in B: (x, y) \in \varphi$

\begin{itemize}
	\item injektívne: $\forall x, y \in A: x \ne y \Rightarrow \varphi(x) \ne \varphi(y)$
	\item surjektívne: $\forall y \in B: \exists x \in A: \varphi(x) = y$
	\item bijektívne: injektívne a surjektívne zároveň
\end{itemize}
\end{defn}

\begin{defn}
\underline{Binárna operácia:}

\begin{itemize}
	\item komutatívna: $a * b = b * a$
	\item asociatívna $a * (b * c) = (a * b) * c$
	\item neutrálny prvok $e$:\\
		$x * e = x$\\
		$e * x = x$
	\item inverzný prvok $x'$:\\
		$x * x' = e$\\
		$x' * x = e$
\end{itemize}
\end{defn}

% */

\section{Štruktúry} % /*

\begin{defn}
Usporiadaná dvojica $(G, +)$ sa nazýva \underline{pologrupa}, ak platí:
\begin{enumerate}
	\item $G \ne \emptyset$
	\item $+$ je asociatívna binárna operácia na $G$
\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
Usporiadaná dvojica $(G, +)$ sa nazýva \underline{grupa}, ak platí:
\begin{enumerate}
	\item $(G, +)$ je pologrupa
	\item $+$ má neutrálny prvok $e$
	\item $\forall x \in G: \exists x' \in G: x + x' = x' + x = e$
\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{okruh}, ak platí:

\begin{enumerate}
	\item $(A, +)$ je komutatívna grupa
	\item $\circ$ je binárna asociatívna operácia na $A$
	\item $\circ$ je distributívna vzhľadom na $+$
\end{enumerate}

Ak $\circ$ má $e$, tak okruh nazývame \underline{okruh s jednotkou}.\\
Ak $\circ$ je komutatívna, tak okruh nazývame \underline{komutatívny okruh}.
\end{defn}

\begin{defn}
Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{obor integrity}, ak platí:

\begin{enumerate}
	\item $(A, +, \circ)$ je okruh
	\item $\forall a, b \in A: a \ne 0 \land b \ne 0 \Rightarrow a \circ b \ne 0$
\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{teleso}, ak platí:

\begin{enumerate}
	\item $(A, +, \circ)$ je obor integrity
	\item $(A, +, \circ)$ má neutrálny prvok operácie $\circ$
\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{pole}, ak platí:

\begin{enumerate}
	\item $(A, +, \circ)$ je teleso
	\item $\circ$ je komutatívna
\end{enumerate}
\end{defn}

% */

\section{Vektorové priestory} % /*

\begin{defn}
	\underline{Vektorový priestor} nad poľom $F$ je usporiadaná trojica $(V, +, \varphi)$, ktorá:
	\begin{enumerate}
		\item $(V, +)$ je komutatívna grupa
		\item $\varphi$ je zobrazenie $\varphi: F \times V \to V$
			zapisované $\varphi(c, \alpha) = c \alpha$, v ktorom pre $a, b \in F$ a $\alpha, \beta \in V$
			platí:
			\begin{enumerate}
				\item $(a + b) \alpha = a \alpha + b \alpha$
				\item $a (\alpha + \beta) = a \alpha + a \beta$
				\item $a(b \alpha) = (ab) \alpha$
				\item $1 \alpha = \alpha$
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
	Hovoríme, že sústava $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ vektorov je
	\underline{lineárne závislá}, ak aspoň jeden z nich je
	lineárnou kombináciou zostávajúcich.
	% TODO linearna kombinacia
\end{defn}

\begin{defn}
	Vektorový priestor $(V', \oplus, \psi)$ nazývame \underline{podpriestor} vektorového priestoru
	$(V, +, \varphi)$, ak platí:
	\begin{enumerate}
		\item $V' \subset V$
		\item $\forall \alpha, \beta \in V': \alpha \oplus \beta = \alpha + \beta$
		\item $\forall c \in F, \forall \alpha \in V': \psi(c, \alpha) = \varphi(c, \alpha)$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Bázou} vektorového priestoru $F$ nazývame lineárne \underline{nezávislú} sústavu
	vektorov $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ z $V$ nad $F$ takú, že sústava generuje vektorový
	priestor $V$. Označujeme $[\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n] = V$

	Číslo $n$ je počet vektorov v báze a nazývame ho \underline{dimenzia} vektorového priestoru.
\end{defn}

\begin{veta}[Steinitzova o~výmene]
	Nech $V$ je vektorový priestor, $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú ľubovoľné vektory z~$V$
	také, že $V = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]$. Nech $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_m$ sú
	lineárne nezávislé vektory.\\
	Potom existuje $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, ..., \alpha_{i_k}$ také, že
	$[\beta_1, \beta_2, ..., \beta_m, \alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, ..., \alpha_{i_k}] = V$.
\end{veta}

% */

\section{Súčty podpriestorov} % /*

\begin{defn}
	Nech $S$, $T$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ nad $F$.
	Potom ich \underline{lineárnym súčtom} nazývame množinu\\
	$S + T = \{ \alpha + \beta ~|~ \alpha \in S, \beta \in T \}$.
\end{defn}

\begin{veta}
	Nech $S$ a $T$ sú podpriestory $V$. Potom aj $S + T$ je podpriestor $V$.
\end{veta}

\begin{veta}
	Nech $S$ a $T$ sú podpriestory $V$.\\
	Potom $dim(S + T) = dim(S) + dim(T) - dim(S \cap T)$.
\end{veta}

\begin{defn}
	Nech $S$ a $T$ sú podpriestory $V$, nech $S \cap T = \{ \overline{0} \}$.\\
	Potom $S + T$ nazývame \underline{direktný súčet} $S$ a $T$ a označujeme ho $S \oplus T$.
\end{defn}

% */

\section{Linárne zobrazenia} % /*

\begin{defn}
	Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad $F$.\\
	Zobrazenie $\varphi: V \to W$ sa nazýva
	\underline{lineárne zobrazenie} ak, $\forall \alpha, \beta \in V, \forall c \in F$:
	\begin{enumerate}
		\item $\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta)$
		\item $\varphi(c \alpha) = c \varphi(\alpha)$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{veta}[Základná veta o lineárnych zobrazeniach]
	Nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ je báza vektorového priestoru $V$. Nech $\beta_1,
	\beta_2, ..., \beta_n$ sú ľubovoľné (TODO asi je to blud, tiez ma byt baza?!) vektory z~$W$. Potom $\exists !$ lineárne zobrazenie
	$\varphi: V \to W$, pre ktoré platí:\\
	$\varphi(\alpha_1) = \beta_1, \varphi(\alpha_2) = \beta_2, ..., \varphi(\alpha_n) = \beta_n$.

	Toto zobrazenie je dané predpisom\\
	$\varphi(c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + ... + c_n \alpha_n) =
	c_1 \beta_1 + c_2 \beta_2 + ... + c_n \beta_n$.
\end{veta}

\begin{defn}
	\underline{Matica lineárneho zobrazenia} \dots TODO nechapem
\end{defn}

\begin{veta}[Kompozícia lineárnych zobrazení]
	Nech $\varphi: U(F) \to V(F)$ a $\psi: V(F) \to W(F)$ sú lineárne zobrazenia.
	Potom aj $\psi \circ \varphi$ ($= \psi(\varphi)$) je lineárne zobrazenie. 
\end{veta}

\begin{veta}
	Matica kompozície dvoch lineárnych zobrazení je súčin matíc týchto lineárnych zobrazení v~tomto
	poradí.
\end{veta}

\begin{veta}[Inverzné lineárne zobrazenie]
	Inverzné zobrazenie k lineárnemu zobrazeniu, ak existuje, je opäť lineárne.
\end{veta}

\begin{defn}
	Nech $\varphi: V(F) \to W(F)$ je lineárne zobrazenie.
	\begin{itemize}
		\item \underline{Jadro zobrazenia} $\varphi$ je množina takých $\alpha \in V(F)$, pre ktoré
			$\varphi(\alpha) = \overline{0}$.
		\item \underline{Jadro zobrazenia} $\varphi$ je tiež funkcia $Ker(\varphi) = \{x \in V ~|~
			\varphi(x) = \overline{0} \}$.
		\item \underline{Obraz zobrazenia} $\varphi$ je možina takých $\beta \in W(f)$, pre ktoré
			$\exists \alpha \in V(f): \varphi(\alpha) = \beta$.
		\item \underline{Obraz zobrazenia} $\varphi$ je tiež funkcia
			$Im(\varphi) = \{\varphi(x) \in W ~|~ x \in V\}$.
	\end{itemize}
\end{defn}

% */

\section{Matice} % /*

\begin{defn}
	Nech $F$ je pole. Obdĺžniková tabuľka prvkov poľa~$F$ s~$m$~riadkami a~$n$~stĺpcami sa nazýva
	\underline{matica typu $m \times n$} nad poľom $F$.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Transponovanou maticou} k matici $A = \mat{a}$ typu $m \times n$ je matica $B = A^T =
	\mat{b}$ typu $n \times m$ s vlastnosťou $b_{ij} = a_{ji}$.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Riadkovým priestorom} matice $A = \mat{a}$ typu $m \times n$ je vektorový podpriestor $F^n$
	generovaný všetkými riadkovými vektormi matice.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Riadkovou (stĺpcovou) hodnosťou} matice $A = \mat{a}$ typu $m \times n$ rozumieme
	dimenziu jej riadkového (stĺpcového) priestoru.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Elementárna riadková operácia} na matici $A$ nad $F$ je:
	\begin{enumerate}
		\item vzájomná výmena dvoch riadkov
		\item vynásobenie niektorého riadku nenulovým prvkom $c \in F$
		\item pripočítanie $i$-tého riadku k $j$-tému riadku
		\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
	Matice $A$ a $B$ sú \underline{riadkovo ekvivalentné}, ak existuje konečná postupnosť
	elementárnych riadkových operácií, ktorými upravíme $A$ na $B$.

	Relácia riadkovej ekvivalencie je reláciou ekvivalencie.
\end{defn}

\begin{defn}
	Matica $A$ typu $m \times n$ nad $F$ je \underline{trojuholníková redukovaná}, ak platia
	nasledujúce tvrdenia:
	\begin{enumerate}
		\item vedúci prvok každého nenulového riadku je $1$
		\item nech $t_1, t_2, ..., t_k$ je postupnosť indexov vedúcich prvkov, potom je táto
			postupnosť rastúca
		\item všetky prvky matice $A$ ležiace nad a pod vedúcim prvkom sú nuly
		\item každý nulový riadok matice $A$ sa nachádza za ľubovoľným nenulovým riadkom matice $A$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{veta}
	Riadkovo ekvivalentným maticiam prislúcha ten istý vektorový priestor.
\end{veta}

\begin{veta}[Redukcia ľubovoľnej matice]
	Každá matica je riadkovo ekvivalentná s nejakou trojuholníkovou redukovanou.
\end{veta}

% */

\section{Systémy lineárnych rovníc} % /*

\begin{defn}
	\underline{Koreň (riešenie)} sústavy $\forall i \in 1..m \sum^n_{j=1} a_{ij} x_j = b_i$ je každá
	usporiadaná $n$-tica z $z_1, z_2, ..., z_n$ o ktorej platí $\forall i \in 1..m \sum^n_{j=1}
	a_{ij} z_j = b_i$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Systém lineárnych rovníc nazývame \underline{homogénny}, ak má tvar
	$\forall i \in 1..m \sum^n_{j=1} a_{ij} x_j = 0$
\end{defn}

\begin{defn} ~\\
	\underline{Matica sústavy:} TODO picture\\
	\underline{Rozšírená matica sústavy:} TODO picture
\end{defn}

\begin{veta}[Frobeniova]
	Sústava lineárnych rovníc má aspoň jeden koreň práve vtedy, hodnosť matice tejto sústavy sa
	rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy.
	TODO think about this!
\end{veta}

\begin{veta}
	Množina všetkých koreňov homogénnej sústavy lineárnych rovníc tvorí vektorový podpriestor
	vektorového priestory $F^n$.
\end{veta}

\begin{defn}
	\underline{Fundamentálny systém} homogénnej sústavy lineárnych rovníc je každá báza vektorového
	priestoru všetkých koreňov tejto sústavy.
\end{defn}

\begin{veta}
	Nech sústava lineárnych rovníc má aspoň jeden koreň, nech je to $\beta = (y_1, y_2, ..., y_n)$.
	Potom každý koreň tejto sústavy sa dá napísať v tvare $\gamma = \beta + \alpha$, kde $\alpha$ je
	vhodný koreň homogénnej sústavy prislúchjúcej k danej sústave.
\end{veta}

% */

\section{Determinanty} % /*

\begin{defn}
	Nech $A$ je štvorcová matica stupňa $n$ nad $F$. \underline{Determinantom} matice $A$ označujeme súčet

	$$\sum_{\varphi \in P(\{1..n\})} (-1)^{\tau(\varphi)} a_{1,\varphi(1)} a_{2,\varphi(2)} ...
	a_{n,\varphi(n)} := |A|$$
	
	kde $P$ je množina permutácií prvkov $\{1..n\}$ a $\tau(\varphi)$
	je parita permutácie $\varphi$.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Minor prislúchajúci prvku $a_{ij}$} je matica, ktorá vznikne vypustením
	$i$-teho riadka a $j$-teho stĺpca. Označujeme $M_{ij}$. Ak $i=j$, hovoríme o~\underline{hlavnom
	minore}.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Algebraickým doplnkom} prvku $a_{ij}$ matice $A$ nazývame číslo
	$A_{ij} = (-1)^{i+j} |M_{ij}|$. Definície sa rôznia: niekde je uvádzané, že $A_{ij}$ je to isté
	ako $M_{ij}$, teda nie skalár, ale matica. My budeme používať prvú definíciu.
\end{defn}

\begin{veta}
	Nech $A$ je typu $n \times n$ nad $F$. Potom:
	\begin{enumerate}
	\item ak k $i$-temu riadku pripočítame $j$-tý riadok, determinant sa nezmení
	\item ak vymeníme medzi sebou dva riadky, determinant zmení znamenienko
	\item ak vynásobíme $i$-ty riadok nenulovým skalárom $c \in F$, potom determinant upravenej matice
		bude $c$-násobkom pôvodnej matice
	\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{veta}
	Ak $A$ je typu $n \times n$ nad $F$, potom $|A| = |A^T|$.
\end{veta}

\begin{veta}[Laplaceov rozvoj]
	$$\forall i \in {1..n}: |A| = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + ... + a_{in} A_{in}$$
	$$\forall j \in {1..n}: |A| = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + ... + a_{nj} A_{nj}$$
\end{veta}

\begin{veta}
	Ak $A$ typu $n \times n$ je regulárna, potom $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj A$, kde
	$adj A = (... TODO picture ...)$
\end{veta}

\begin{veta}[Cramerovo pravidlo]
	Ak determinant matice $A$ systému $n$ lineárnych rovníc o $n$ neznámych je nenulový, tak systém
	ma práve jedno riešenie tvaru:

	$$x_1 = \frac{|D_1|}{|A|}, x_2 = \frac{|D_2|}{|A|}, ..., x_n = \frac{|D_n|}{|A|}$$

	kde $D_i$ je matica, ktorá vznikne z $A$ nahradením $i$-teho stĺpca absolútnymi členmi
	(tj.~pravou stranou sústavy).
\end{veta}

% */

\section{Euklidovské priestory} % /*

\begin{defn}
	\underline{Euklidovský priestorom} nazývame usporiadanú dvojicu $(E, \varphi)$, kde $E$ je
	vektorový priestor nad $\mathbb{R}$ a $\varphi: E \times E \to \mathbb{R}$ je zobrazenie
	nazývané \underline{sklárny súčin} (zapisujeme $\varphi(\alpha, \beta) = \angle{\alpha, \beta}$)
	pričom $\forall \alpha, \alpha', \beta \in E, \forall c \in
	\mathbb{R}$ platí:
	\begin{enumerate}
		\item $\angle{\alpha, \alpha} \ge 0, \angle{\alpha, \alpha} = 0 \Leftrightarrow \alpha = \overline{0}$
		\item $\angle{\alpha + \alpha', \beta} = \angle{\alpha, \beta} + \angle{\alpha', \beta}$
		\item $\angle{\alpha, \beta} = \angle{\beta, \alpha}$
		\item $\angle{c \alpha, \beta} = c \angle{\alpha, \beta}$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Matica skalárneho súčinu $\varphi$} je matica $\mat{\varphi}$, pre ktorú platí
	$\angle{\alpha, \beta} = \overline{\alpha} \cdot \mat{\varphi} \cdot \overline{\beta}^T$.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Dĺžka (norma) vektora $\alpha$} je $\pll{\alpha} = \sqrt{ \langle \alpha, \alpha \rangle }$
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Uhol $\varphi$ vektorov $\alpha$ a $\beta$} je $cos \varphi = \frac{\angle{\alpha,
	\beta}}{\pll{\alpha} \pll{\beta}}$
\end{defn}

\begin{veta}
	V euklidovskom vektorovom priestore platí:
	\begin{enumerate}
		\item $\pll{c \cdot \alpha} = |c| \cdot \pll{\alpha}$
		\item $\pll{\alpha} > 0$ pre $\alpha \ne \overline{0}$
		\item $|\angle{\alpha, \beta}| \le \pll{\alpha} \cdot \pll{\beta}$ \hfill (Schwarzova nerovnosť)
		\item $\pll{\alpha + \beta} \le \pll{\alpha} + \pll{\beta}$ \hfill (Trojuholníková nerovnosť)
	\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{defn}
	Nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n \in E(V, \varphi)$. Nech $\forall i, j \in \{1..n\}$
	také, že $i \ne j$ platí:
	\begin{itemize}
		\item $\angle{\alpha_i, \alpha_j} = 0$, potom vektory $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú
			\underline{ortogonálne}
		\item $\angle{\alpha_i, \alpha_j} = 0$ a $\pll{\alpha_i} = 1$, potom vektory $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú
			\underline{ortonormálne}
	\end{itemize}
\end{defn}

\begin{defn}
	Nech $M$ je podmnožina vektorového priestoru $E$.\\
	Potom \underline{ortogonálnym doplnkom}
	množiny $M$ nazývame množinu $$M^\perp = \{ \alpha ~|~ \alpha \in E \land \forall \beta \in M:
	\angle{\alpha, \beta} = 0 \}$$
\end{defn}

\begin{defn}
	Nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n \in (E, \varphi)$ a $dim(E, \varphi) = n$. Potom vektory
	$\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ tvoria \underline{ortonormálnu bázu} vektorového priestoru
	$E$, ak sú ortonormálne, tj. sú ortogonálne s dĺžkou $1$.
\end{defn}

\begin{veta}
	Ortogonálne vektory Euklidovského vektorového priestoru sú lineárne nezávislé.

	Ak je počet ortogonálnych vektorov taký aká je dimenzia priestoru, potom tvoria ortogonálnu bázu priestoru.
	Ak sú navyše ortonormálne, tvoria ortonormálnu bázu.
\end{veta}

\begin{veta}[Gramm-Schmidtova ortogonalizačná metóda]
	Nech vektory $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú lineárne nezávislé z euklidovského
	vektorového priestoru~$E$. Potom existuje ortonormálna báza $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$
	taká, že $$[\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n] = [\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n]$$
\end{veta}

\begin{example}
	$\alpha_1 = (1, 0, 0, 1), \alpha_2 = (0, 1, 0, 2), \alpha_3 = (0, 0, 1, 2)$\\
	$\beta_1 = \alpha_1 = (1, 0, 0, 1)$\\
	$\beta_2 = \alpha_2 + c_{21} \beta_1$, takže $\angle{\beta_1, \beta_2} = 0 \Rightarrow c_{21}
	\Rightarrow \beta_2$\\
	$\beta_3 = \alpha_3 + c_{32} \beta_2 + c_{31} \beta_1$, takže $\angle{\beta_1, \beta_3} = 0
	\land \angle{\beta_2, \beta_3} = 0 \Rightarrow c_{32}, c_{31} \Rightarrow \beta_3$

	Nakoniec $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ normalizujeme.
\end{example}

% */

\section{Kvadratické formy} % /*

\begin{defn}
	Nech $n \in \mathbb{N}$, ďalej $i,j \in \{1, ..., n\}$ a tiež $x_1, ..., x_n$ sú premenné. Potom
	\underline{kvadratickou formou} $n$ premenných $x_1, ..., x_n$ nazývame výraz
	$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_{i} x_{j}$$
	kde $a_{ij} \in F$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Kvadratická forma $f(x,y) = x A y^T$ je \underline{kladne defnitná}, keď pre $x \ne 0, y \ne 0$
	je vždy $f > 0$.

	Ak pre $x \ne 0, y \ne 0$ je $f \ge 0$, hovoríme o \underline{kladnej seminidefinitnosti}.
\end{defn}

\begin{veta}[Maticka kvadratickej formy]
	Každú kvadratickú formu $n$ premenných $x_1, x_2, ..., x_n$ je možné vyjadriť práve jedným
	spôsobom v tvare $X \cdot A \cdot X^T$, kde $X = (x_1, x_2, ..., x_n)$ a $A$ je štvorcová
	symetrická matica stupňa $n$.
\end{veta}

\begin{veta}[Kanonický tvar kvadratickej formy]
	Každú kvadratickú formu $n$ premenných $x_1, x_2, ..., x_n$ možno vhodnou lineárnou
	transformáciou premenných upraviť na tvar $y_1^2 + ... + y_k^2 - y_{k+1}^2 - ... - y_s^2$,
	kde $s \le n$.
\end{veta}

\begin{veta}[Silvestrov zákon zotrvačnosti]
	Ak kvadratickú formu upravíme dvoma spôsobmi tak, že v nových formách vystupujú iba druhé
	mocniny premenných s koeficientami $\pm 1$, tak počet kladných aj počet záporných druhých mocnín
	je v obidvoch formách rovnaký.
\end{veta}

\begin{veta}[Silvestrova podmienka]
	Kvadratická forma $X \cdot A \cdot X^T$ so symetrickou maticou $A = \mat{a}$ je kladne
	semidefinitná práve vtedy, keď pre každé $k \in \{1, \dots, n\}$ je $D_k > 0$, kde $D_k$ je
	determinant matice
	
	TODO picture
\end{veta}

TODO nieco o stvorcovych maticiach

% */

\section{Podobnosť matíc} % /*

\begin{defn}
	\underline{Regulárna matica} je každá štvorcová matica stupňa $n$, ktorej hodnosť je~$n$. V
	opačnom prípade hovoríme o~\underline{singulárnej matici}.
\end{defn}

\begin{defn}
	Matice $A$ a $B$ typu $n \times n$ nazývame \underline{podobnými}, ak existuje regulárna matica
	$P$ typu $n \times n$ taká, že $B = P A P^{-1}$ (ide o reláciu ekvivalencie).
\end{defn}

\begin{defn}
	Nech $\varphi: V(R) \to V(R)$ je lineárne zobrazenie, nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$
	je ľubovoľná báza $V(R)$. Nech $\varphi(\alpha_i) = a_{i1} \alpha_1 + a_{i2} \alpha_2 + ... +
	a_{in} \alpha_n$ pre $i \in 1..n$. Potom \underline{maticou transformácie} $\varphi$ vzhľadom na
	bázu $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ nazývame maticu

	TODO PICTURE
\end{defn}

\begin{veta}
	Nech $A$ je matica lineárneho zobrazenia $\varphi: V(\mathbb{R}) \to V(\mathbb{R})$ vzhľadom na
	bázu $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$. Nech $X$ je $n$-tica súradníc vektora $\alpha \in
	V(\mathbb{R})$ vzhľadom na bázu $\alpha_i$. Potom $Y = XA$ je $n$-tica súradníc vektora
	$\varphi(\alpha)$ vzhľadom na $\alpha_i$
\end{veta}

\begin{veta}
	Nech $A$ je matica lineárneho zobrazenia $\varphi$ vzhľadom na bázu $\alpha_1, \alpha_2, ...,
	\alpha_n$. Nech $B$ je matica vzhľadom na bázu $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$. Nech $P$ je
	matica prechodu od bázy $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ k báze $\beta_1, \beta_2, ...,
	\beta_n$. Potom $B = P \cdot A \cdot P^{-1}$.
\end{veta}

\begin{veta}
	Nech $f, g: V(\mathbb{R}) \to V(\mathbb{R})$ sú lineárne zobrazenia vzhľadom na $\alpha_1,
	\alpha_2, ..., \alpha_n$. Ďalej nech $M_f$ je matica $f$, $M_g$ je matica $g$. Potom:
	\begin{enumerate}
		\item matica lineárneho zobrazenia $f+g$ vzhľadom na  $\alpha_1, ..., \alpha_n$ je
			$M_f + M_g$
		\item matica lineárneho zobrazenia $c \cdot f$ vzhľadom na  $\alpha_1, ..., \alpha_n$ je
			$c \cdot M_f$
		\item matica lineárneho zobrazenia $f \circ g$ vzhľadom na  $\alpha_1, ..., \alpha_n$ je
			$M_f \cdot M_g$
	\end{enumerate}
\end{veta}

% */

\section{Vlastné čísla} % /*

\begin{defn}
	Vektor $\alpha \in V, \alpha \ne 0$ je \underline{charakteristickým (vlastným)
	vektorom} lineárneho zobrazenia $f: V \to V$, ak existuje skalár $c \in F$ s vlastnosťou
	$f(\alpha) = c \alpha$.

	Skalár $c$ s touto vlastnosťou nazývame \underline{charakteristickou (vlastnou) hodnotou}
	zobrazenia.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Charakteristická hodnota matice $A$} lineárneho zobrazenia je $$A \cdot \alpha = c
	\cdot \alpha$$
	$A \cdot \alpha = c \cdot \alpha \to A \cdot \alpha = c \cdot I \cdot \alpha
	\to (A- c \cdot I) \cdot \alpha = 0 \Leftrightarrow |A - c \cdot I| = 0$

	Determinant matice $A - c \cdot I$ je \underline{charakteristický polynóm}.
\end{defn}

% */

TODO nieco o ortogonalnych maticiach

\section{Grupy} % /*

\begin{defn}
Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \underline{grupa}, ak platí:
\begin{enumerate}
	\item $G \ne \emptyset$
	\item $*$ je asociatívna binárna operácia na $G$
	\item $*$ má neutrálny prvok $e$
	\item $\forall x \in G: \exists x^{-1} \in G: x * x^{-1} = x^{-1} * x = e$
\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
	Grupa $(H, *)$ je \underline{podgrupa} grupy $(G, \circ)$, ak platí:
	\begin{enumerate}
		\item $H \subseteq G$
		\item $\forall a, b \in H: a * b = a \circ b$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
	Grupa $(G, *)$ sa nazýva \underline{cyklická}, ak existuje prvok $a \in G$ taký, že platí $[a] = G$.
\end{defn}

\begin{defn}
	V grupe $(G, *)$ definujeme pre každé $n \in \mathbb{Z}$ a pre $\forall a \in G$
	\underline{grupovú mocninu} $a^n$ takto:
	\begin{itemize}
		\item $a^0 = e$
		\item $a^n = \underbrace{a * a * \dots * a}_{\textrm{$n$-krát}}$ pre $n > 0$
		\item $a^{-k} = \underbrace{a^{-1} * a^{-1} * \dots * a^{-1}}_{\textrm{$k$-krát}}$ pre $n = -k < 0$
	\end{itemize}
\end{defn}

\begin{defn}
	Nech $a \in G$. Najmenšie kladné celé číslo $k > 0$ s vlastnosťou $a^k = e$ nazývame \underline{rád
	prvku $a$}. Ak také číslo neexsituje, rád prvku je $\infty$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Hovoríme, že grupa $(G, *)$ je \underline{izomorfná} s grupou $(H, \circ)$, ak existuje
	\underline{bijekcia} $\varphi: G \to H$, pre ktorú platí: $\varphi(a * b) = \varphi(a) \circ
	\varphi(b)$.\\
	Zobrazenie $\varphi$ nazývame \underline{izomorfizmus}.
\end{defn}

\begin{veta}[Cayley]
	Každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií.
\end{veta}

\begin{veta}
	Každá podgrupa cyklickej grupy je cyklická.
\end{veta}

% */

\section{Rozklady na grupách} % /*

\begin{defn}
	\underline{Rozkladom množiny $A$} rozumieme taký systém $M$ jej neprázdnych podmnožín, že:
	\begin{enumerate}
		\item $\bigcup_{M_i \in M} M_i = A$
		\item $M_i, M_j \in M \land M_i \ne M_j \Rightarrow M_i \cap M_j = \emptyset$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
	Nech $H$ je podgrupa grupy $(G, *)$. Potom ľavou triedou 
	\underline{$G$ podľa $H$} určenou prvkom $a$
	nazývame množinu $a * H = \{ a * h ~|~ h \in H \}$.
\end{defn}

\begin{veta}
	Nech $H$ je podgrupa $G$. Potom $^G|_H = \{ x H ~|~ x \in G \}$ je rozklad na~$G$, pričom $x H =
	\{ x h ~|~ h \in H \}$.
\end{veta}

\begin{veta}[Lagrangeova veta]
	Nech $G$ je \underline{konečná grupa} a $H$ jej podgrupa. Potom $|H| \bigvert |G|$, tj. počet
	prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy.
\end{veta}

% */

\section{Homomorfizmus grúp} % /*

\begin{defn}
	Zobrazenie $f: G \to H$, kde $(G, \circ)$ a $(H, *)$ sú grupy, nazývame
	\underline{homomorfizmus}, ak $\forall x, y \in G: f(x \circ y) = f(x) * f(y)$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Podgrupa $H$ grupy $G$ sa nazýva \underline{invariantnou (normálnou)} podgrupou, ak $\forall x
	\in G: x H = H x$, resp. $\forall x \in G: x^{-1} H x \subseteq H$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Množinu $Z(G) = \{ g \in G ~|~ \forall x \in G: g * x = x * g \}$ nazývame \underline{centrum
	grupy} $(G, *)$.
\end{defn}

% */
 
\section{Faktorové grupy} % /*

\begin{defn}
	Pre triedy grupy $(G, *)$ podľa jej podgrupy $H$ je \underline{faktorizovaná grupová operácia}
	určená vzťahom $(Ha) * (Hb) = H(a * b)$, kde $a, b \in G$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Množina $^G|_H$ všetkých tried grupy $(G, *)$ podľa jej normálnej podgrupy $H$, sa nazýva
	\underline{faktorová grupa}.
\end{defn}

\begin{veta}
	Množina $^G|_H$ tvorí grupu vzhľadom na operáciu násobenia tried po prvkoch $(Ha)(Hb) = Hab$.
	\begin{itemize}
		\item ak $G$ je komutatívna, tak aj $^G|_H$ je komutatívna
		\item ak $G$ je cyklická, tak aj $^G|_H$ je cyklická
		\item neutrálny prvok $He = H$
		\item inverzný prvok $(Ha)^{-1} = Ha^{-1}$
	\end{itemize}
\end{veta}

\begin{veta}[Základná veta o homomorfizme grúp]
	Nech $f: G \to H$ je surjektívny homomorfizmus. Potom $^G|_{Ker f}$ je izomorfný s~$H$.
\end{veta}

% */

\section{Grupy permutácií} % /*

\begin{defn}
	\underline{Permutáciou} na množine $A$ sa nazývame ľubovoľné bijektívne zobrazenie $f: A \to A$.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Cyklickou permutáciou} (alebo cyklom) prvkov $a_1, a_2, ..., a_k$ množiny $X$
	nazývame permutáciu $\varphi$, ktorá každý prvok $a_i, i \in \{1, ..., k-1\}$ zobrazí na
	$a_{i+1}$ a $a_k$ zobrazí na $a_1$ a ostatné prvky množiny ponechá na mieste.

	Číslo $k$ nazývame \underline{dĺžka cyklu}.
\end{defn}

\begin{defn}
	Hovoríme, že cykly $(a_1, a_2, ..., a_n)$ a $(b_1, b_2, ..., b_m)$ sú \underline{disjunktné}, ak množiny 
	$\{a_1, a_2, ..., a_n\}$ a $\{b_1, b_2, ..., b_m\}$ sú disjunktné.
\end{defn}

\begin{veta}
	Každá permutácia z $S_n$ rôzna od identickej sa dá napísať v tvare súčinu cyklov dĺžky aspoň
	$2$. Ak odhliadneme od poradia cyklov v súčine, tak toto vyjadrenie je jednoznačné.
\end{veta}

\begin{veta}
	\underline{Rád permutácie}, ktorá je súčinom navzájom disjnuktných cyklov je najmenší spoločný násobok ich
	dĺžok.
\end{veta}

\begin{defn}
	Cykly dĺžky $2$ nazývame \underline{transpozície}. Permutácia sa nazýva \underline{párna}, ak je
	súčinom párneho počtu transpozícií. Inak sa permutácia nazýva \underline{nepárna}.
\end{defn}

\begin{veta}
	Každá permutácia sa dá aspoň jedným spôsobom napísať v tvare súčinu transpozícií.
\end{veta}

% */

\section{Okruhy} % /*

\begin{defn}
	\underline{Okruhom} rozumieme usporiadanú trojicu $(A, +, \cdot)$, kde
	\begin{enumerate}
		\item $(A, +)$ je komutatívna grupa
		\item $\cdot$ je asociatívna binárna operácia
		\item $\cdot$ je distributívna operácia vzhľadom na $+$
	\end{enumerate}

	Ak $\cdot$ je komutatívna, tak hovoríme o \underline{komutatívnom okruhu}.\\
	Ak $\cdot$ má neutrálny prvok, tak hovoríme o \underline{okruhu s jednotkou}.
\end{defn}

\begin{defn}
	Okruh $(B, \oplus, \odot)$ je \underline{podokruh} okruhu $(A, +, \cdot)$, ak platí:
	\begin{enumerate}
		\item $B \subseteq A$
		\item $\forall a, b \in B: a \oplus b = a + b$
		\item $\forall a, b \in B: a \odot b = a \cdot b$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Charakteristikou} okruhu $A$ nazývame najmenšie prirodzené číslo $k > 0$ také, že $k
	\times a = 0$ pre $\forall a \in A$, kde $k \times a = \underbrace{a + a + ... +
	a}_{\textrm{$k$-krát}}$
\end{defn}

\begin{defn}
	Neprázdna podmnožina $I$ okruhu $A$ sa nazýva \underline{ľavým (pravým) ideálom} okruhu $A$, ak
	platí:
	\begin{enumerate}
		\item $\forall a, b \in I: (a - b) \in I$
		\item $\forall a \in I, r \in A: r \cdot a \in I$ resp.  $a \cdot r \in I$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{defn}
	Hovoríme, že okruh $A$ je \underline{izomorfný} s okruhom $A'$, ak existuje bijekcia $\varphi: A
	\to A'$ taká, že zachováva sčitovanie a násobenie.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Homomorfizmus} okruhu $(A, +, \cdot)$ do okruhu $(B, \oplus, \odot)$ je každé
	zobrazenie $f: A \to B$, o ktorom platí:
	\begin{enumerate}
		\item $\forall a, b \in A: f(a + b) = f(a) \oplus f(b)$
		\item $\forall a, b \in A: f(a \cdot b) = f(a) \odot f(b)$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{veta}
	Ak $f, g: A \to B$ sú homomorfizmy, tak aj $f + g$ je homomorfizmus.	
\end{veta}

\begin{veta}
	Ak $f, g: A \to B$ sú homomorfizmy, tak aj $f \cdot g$ je homomorfizmus.	
\end{veta}

\begin{veta}
	Ak $I$ je ideál okruhu $A$, tak množina $^A|_I$ všetkých tried aktívnej grupy $A$ podľa podgrupy
	$I$ s operáciami $\forall a,b \in A$:
	$$(a+I) + (b+I) = (a+b) + I$$ $$(a+I) (b+I) = ab + I$$
	tvorí okruh, ktorý nazývame \underline{faktorový okruh}.

	Ak $A$ je komutatívny, tak aj $^A|_I$ je komutatívny.\\
	Ak $A$ je s jednotkou, tak aj $^A|_I$ je s jednotkou.
\end{veta}

\begin{defn}
	Hovoríme, že ideál $I$ okruhu $A$ je \underline{prvoideálom}, ak pre $\forall a, b \in A: a
	\cdot b \in I \Rightarrow a \in I \lor b \in I$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Hovoríme, že ideál $I$ okruhu $A$ je \underline{maximálny}, ak $I \ne A$ a zároveň $\forall$
	ideály $J: I \subseteq J \subseteq A \Rightarrow I = J \lor A = J$.
\end{defn}

\begin{veta}
	Faktorový okruh $^A|_I$ komutatívneho okruhu s jednotkou je obor integrity $\Leftrightarrow$ keď
	$I$ je prvoideál.
\end{veta}

\begin{veta}
	Faktorový okruh $^A|_I$ komutatívneho okruhu s jednotkou je pole $\Leftrightarrow$ keď
	$I$ je maximálny ideál.
\end{veta}

\begin{defn}
	Okruh $A$ nazývame \underline{oborom integrity} ak má aspoň 2 prvky a pre $\forall a, b \in A, a
	\ne 0, b \ne 0$ platí $a \cdot b \ne 0$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Hovoríme, že okruh $A$ je \underline{teleso}, ak má aspoň 2 prvky a $\forall a \in A, a \ne 0:
	\exists a' \in A: a \cdot a' = a' \cdot a = 1$
\end{defn}

\begin{defn}
	Komutatívne teleso nazývame \underline{pole}.
\end{defn}

\begin{veta}
	Nech $A$ je obor integrity. Potom v $A$ platia tzv. obmedzené pravidlá o krátení,
	$\forall a, b, c \in A, a \ne 0:$
	\begin{enumerate}
		\item $ab = ac \Rightarrow b = c$
		\item $ba = ca \Rightarrow b = c$
	\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{defn}
	\underline{Zlomkom} nad oborom integrity $D$ nazývame usporiadanú dvojicu $(a, b)$, kde $a, b
	\in D, b \ne 0$.

	Dva zlomky nazývame \underline{ekvivalentnými} ($(a, b) \equiv (a', b')$) $\Leftrightarrow ab' =
	a'b$.

	\underline{Súčet} zlomkov definujeme $(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)$.\\
	\underline{Súčin} zlomkov definujeme $(a, b) (c, d) = (ac, bd)$.
\end{defn}

\begin{defn}
	\underline{Podielové pole} $Q(D)$ oboru integrity $D$ je množina všetkých tried ekvivalencie
	$[(a, b)]$ zlomkov nad $D$. Súčet a súčin tried sú definované nasledovne:
	$$[(a, b)] + [(c, d)] = [(a, b) + (c, d)]$$
	$$[(a, b)] [(c, d)] = [(a, b) (c, d)]$$
\end{defn}

% */

\section{Okruhy hlavných ideálov} % /*

\begin{defn}
	Hovoríme, že $x \in A$ \underline{generuje ideál $I$} komutatívneho okruhu $A$ s jednotkou, ak
	$I = xA = \{ xa ~|~ a \in A \}$.

	Ideál $I$ generovaný nejakým $x \in A$ nazývame \underline{hlavný}.
\end{defn}

\begin{defn}
	Komutatívny okruh $A$ s jednotkou nazývame \underline{okruh hlavných ideálov}, ak každý ideál v
	$A$ je hlavný.
\end{defn}

\begin{defn}
	Nech $A$ je komutatívny okruh. Hovoríme, že \underline{$a$ delí $b$}, $a|b$, ak $\exists c: b
	= c \dot a, a, b, c \in A$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Nech $A$ je komutatívny okruh s jednotkou. Hovoríme, že $d \in A$ je najväčším spoločným
	deliteľom prvkov $a, b \in A$, ak platí:
	\begin{enumerate}
		\item $d|a \land d|b$
		\item $c|a \land c|b$, tak $c|d$
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{veta}
	Každé dva prvky z okruhu hlavných ideálov majú najväčšieho spoločného deliteľa.
\end{veta}

\begin{defn}
	Prvok $p$ z okruhu hlavných ideálov $A$ nazývame \underline{ireducibilným} prvkom, ak $p$ má iba
	\underline{nevlastných} deliteľov, tj. delia ho iba delitele jednotky a prvky s ním
	\underline{asociované}.

	Asociované prvky sú $\forall a, b: a|b \land b|a$.
\end{defn}

\begin{veta}
	Každý prvok $a \in A$, $A$ je okruh hlavných ideálov, $a$ nie je deliteľ~$1$, sa dá napísať
	jediným spôsobom v tvare: $$a = a_0 p_1 p_2 ... p_n$$ kde $p_i$ sú ireducibilné prvky z $A$ (až
	na poradie a asociovanosť) a $a_0$ je deliteľ~$1$.
\end{veta}

\begin{veta}[Vlastnosti deliteľnosti] ~
	\begin{enumerate}
		\item \underline{tranzitívnosť}: $a|b \land b|c \Rightarrow a|c$
		\item \underline{všetky prvky delia $0$}:
			\begin{enumerate}
				\item $0|0$ pretože $0 = 0 \cdot 0$
				\item $a|0$ pretože $0 = a \cdot 0$
			\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{defn}
	Nech $A$ je podokruh $B$. Prvok $n \in B$ je \underline{algebraický nad $A$}, ak existujú $a_0,
	a_1, ..., a_n \in A$ tak, že $$a_0 + a_1 n + a_2 n^2 + ... + a_n n^n = 0$$
	pričom aspoň jedno $a_i \ne 0$.

	V opačnom prípade $n$ voláme \underline{transcendentný}.
\end{defn}

% */

\section{Okruhy polynómov} % /*

\begin{defn}
	Nech $B$ je komutatívny okruh s jednotkou, nech $A$ je podokruh $B$, pričom $1 \in A$. Nech
	ďalej $x \in B$. Hovoríme, že okruh $A[x]$ je \underline{okruh polynómov v neurčitej $x$} nad
	okruhom $A$, ak pre ľubovoľné $f(x), g(x) \in A[x]$ platí $f(x) = g(x) \Leftrightarrow$
	postupnosti ich koeficientov sa rovnajú.
\end{defn}

\begin{veta}
	Ku každému komutatívnemu okruhu $A$ s jednotkou existuje okruh polynómov $A[x]$, ktorý je určený
	jednoznačne až na izomorfizmus.
\end{veta}

\begin{defn}
	Nech $f(x), g(x) \in F[x]$, $F$ je pole. Hovoríme, že \underline{$f(x)$ delí $g(x)$}, ak
	existuje $h(x) \in F[x]: g(x) = f(x) \cdot h(x)$, kde $\{a_n\} \cdot \{b_n\} = c_n, c_n =
	\sum_{i+j=n} a_i b_j$.

	Ak $f(x)|g(x)$ a $g(x)|f(x)$ hovoríme o \underline{asociovaných polynómoch}.
\end{defn}

\begin{veta}[O delení so zvyškom]
	Nech $f(x), g(x) \in F[x], g(x) \ne 0$. Potom $\exists q(x), r(x) \in F[x]: f(x) = g(x) \cdot
	q(x) + r(x), st~r(x) < st~g(x)$ a $q(x), r(x)$ sú jednoznačne určené.
\end{veta}

\begin{defn}
	Nech $f_1(x), ..., f_k(x) \in F[x]$. Potom $d(x) \in F[x]$ nazveme \underline{najväčším
	spoločným deliteľom} $f_1(x), ..., f_k(x)$, ak
	\begin{enumerate}
		\item $d(x)|f_i(x) \forall i$
		\item $h(x)|f_i(x) \forall i \Rightarrow h(x)|d(x)$ ($h(x) \in F[x]$)
	\end{enumerate}
\end{defn}

\begin{veta}
	V okruhu polynómov $F[x]$ majú každé dva polynómy najväčší spoločný deliteľ, ktorý je určený
	jednoznačne až na multiplikatívnu konštantu a dá sa vypočítať pomocou Euklidovho algoritmu.
\end{veta}

\begin{defn}
	Polynómy $f_1(x), ..., f_k(x) \in F[x]$ nazveme \underline{nesúdeliteľnými} ak $NSD(f_1(x), ...,
	f_k(x)) = 1$.
\end{defn}

\begin{veta}
	$f(x), g(x), h(x) \in F[x]$
	\begin{itemize}
		\item $f(x)|g(x) \cdot h(x) \land NSD(f(x), g(x)) = 1 \Rightarrow f(x)|h(x)$
		\item $f(x)|h(x) \land g(x)|h(x) \land NSD(f(x), g(x)) = 1 \Rightarrow f(x)g(x)|h(x)$
	\end{itemize}
\end{veta}

\begin{defn}
	Nech $f(x), g(x) \in F[x]$. Potom $g(x)$ je \underline{triviálny deliteľ} $f(x)$, ak $st~g(x) =
	0$ alebo $f(x) \sim g(x)$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Nech $f(x) \in F[x], st~f(x) \ge 1$. Potom $f(x)$ naźyvame \underline{ireducibilným v $F[x]$},
	ak $f(x)$ má v $F[x]$ iba triviálne delitele.

	V opačnom prípade hovoríme o \underline{reducibilnom} polynóme.
\end{defn}

\begin{veta}[Rozklad na súčin ireducibilných polynómov]
	Nech polynóm $f(x) = a_0 + ... + a_n x^n, f(x) \in F[x], a_n \ne 0, n \ge 1$. Potom $\exists p_1(x),
	..., p_m(x) \in F[x], p_i(x)$ je ireducibilný, také, že platí $$f(x) = a_n p_1(x) ... p_m(x)$$
	pričom rozklad je určený jednoznačne až na poradie.
\end{veta}

% polynomy dokoncenie

\begin{defn}
	Nech $F$ je podpole poľa $F'$. Nech $f(x) \in F[x]$. Potom prvok $c \in F'$ nazveme
	\underline{koreňom polynómu} $f(x)$ v poli $F'$, ak platí $$f(c) = a_0 + a_1 c + ... + a_n c^n =
	0$$
\end{defn}

\begin{veta}
	Nech $F$ je nadpole $F'$, nech $f(x) \in F[x]$. Potom $c \in F'$ je koreň $f(x) \Leftrightarrow
	(x-c)|f(x)$ v $F'[x]$.
\end{veta}

\begin{defn}
	Nech $F$ je podpole $F'$. Potom $c \in F'$ voláme \underline{$k$-násobným koreňom} $f(x) \in
	F[x]$, ak $(x - c)^k|f(x)$ a $(x-c)^{k+1}$ nedelí $f(x)$ v $F'[x]$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Pole $F$ sa nazýva \underline{algebraicky uzavreté}, ak každý polynóm $f(x) \in F[x], st~f(x)
	\ge 1$ má v poli $F$ aspoň jeden koreň.
\end{defn}

\begin{veta}[Steinitzova veta]
	Ku každému poľu $F$ existuje algebraicky uzavreté nadpole $F'$.
\end{veta}

\begin{veta}[Gaussova veta / Základná veta algebry]
	Pole komplexných čísiel $\mathbb{C}$ je algebraicky uzavreté.
\end{veta}

\begin{veta}
	Nech $f(x) \in F[x], st~f(x) \in \{2, 3\}$. Potom $f(x)$ je ireducibilný nad $F \Leftrightarrow
	f(x)$ nemá korene v $F$.
\end{veta}

\begin{veta}
	Nech $F$ je pole. Potom $F[x]$ je okruh hlavných ideálov.
\end{veta}

\begin{defn}
	Nech $F$ je pole, nech $f(x) = a_0 + ... + a_n x^n \in F[x]$. Polynóm $D f(x) = a_1 + 2 a_2 x +
	... + n a_n x^{n-1} \in F[x]$ nazývame \underline{formálnou deriváciou polynómu $f(x)$}.
\end{defn}

\begin{veta}
	Nech $f(x), g(x) \in F[x]$. Potom
	\begin{enumerate}
		\item $D(f(x) + g(x)) = Df(x) + Dg(x)$
		\item $D(f(x) \cdot g(x)) = (Df(x)) \cdot g(x) + f(x) \cdot (Dg(x))$
	\end{enumerate}
\end{veta}

\begin{veta}
	Nech $f(x) \in F[x], st~f(x) \ge 1$. Potom $f(x)$ má v nejakom nadpoli $F$ aspoň jeden
	viacnásobný koreň $\Leftrightarrow st~NSD(f(x), Df(x)) \ge 1$.
\end{veta}

\begin{veta}
	Nech $f(x) = a_0 + ... + a_n x^n, n \ge 1, f(x) \in F[x]$. Ďalej nech $c \in F$. Potom existujú
	jednoznačne určené prvky $b_0, b_1, ..., b_n \in F$ také, že $$f(x) = b_0 + b_1 (x - c) + ... +
	b_n (x - c)^n$$
\end{veta}

% */

\section{Rozšírenia polí} % /*

\begin{defn}
	Pole $L$ nazývame \underline{jednoduchým algebraickým rozšírením poľa} $F, F \subseteq L$, ak
	existuje prvok $u \in L$ algebraický nad $F$ taký, že pole $L = F(u)$ je generované množinou $F
	\cup \{u\}$.

	Ak $u$ je transcendentný nad $F$, hovoríme o \underline{jednoduchom transcendentnom rozšírení}.
\end{defn}

\begin{veta}
	Jednoduché transcendenté rozšírenie $F(u)$ poľa $F$ je izomorfné s podielovým poľom $Q(F[x])$
	okruhu $F[x]$ (polynómov $1$ neurčitej nad $F$).
\end{veta}

\begin{defn}
	\underline{Minimálnym polynómom} prvku $u$ algebraického nad $F$ nazývame normovaný polynóm $p
	\in F[x]$, ktorý je generátorom ideálu $\{ f \in F[x] ~|~ f(u) = c\}$ ($\forall f \in F[x]$ teda
	platí $f(u) = c \Leftrightarrow p|f$).
\end{defn}

\begin{veta}
	Ak \underline{$p$ je minimálny} polynóm prvku $u$ algebraického nad poľom $F$, tak
	\underline{$p$ je ireducibilný} nad $F$.

	Jednoduché algebraické rozšírenie $F(u)$ sa potom rovná okruhu $F[u] = \{f(u) ~|~ t \in F[x]\}$
	(TODO: check this), ktorý je izomorfný s faktorovým okruhom.
\end{veta}

\begin{defn}
	\underline{Stupňom} algebraického prvku $u$ nad poľom $F$ nazývame stupeň $n$ jeho minimálneho
	polynómu nad $F$. Stupeň $n$ nad $F$ označujeme $n = [u:F]$.
\end{defn}

\begin{defn}
	Hovoríme, že pole $F'$ je \underline{konečným (nekonečným) rozšírením} poľa $F$, ak $F'$ je
	konečnorozmerným (nekonečnorozmerným) vektorovým priestorom nad $F$.

	\underline{Stupeň rozšírenia} je $[F':F] := dim~F'~nad~F$.
\end{defn}

\begin{veta}
	Nech $F'$ je konečné rozšírenie $F$, $F''$ je konečné rozšírenie $F'$. Potom $F''$ je konečné
	rozšírenie $F$ a platí: $$[F'':F] = [F'':F'] \cdot [F':F]$$
\end{veta}

\begin{defn}
	Pole $F'$ nazývame \underline{$k$-násobným algebraickým rozšírením} poľa $F$, ak existujú prvky
	$u_1, u_2, ..., u_k \in F'$ a postupnosť jednotlivých algebraických rozšírení
	$$F_1 = F(u_1), F_2 = F_1(u_2), ..., F_k = F_{k-1}(u_k) = F'$$
\end{defn}

\begin{veta}
	Ak $u$ je algebraický nad $F$, tak rozšírenie $F(u)$ je konečné nad $F$ a platí $[F(u):F] =
	[u:F]$.

	Opačne, ak $F'$ je konečné rozšírenie nad $F$, tak každý prvok $u \in F'$ je algebraický nad $F$
	a platí $[u:F] \le [F':F]$.
\end{veta}

% */

\section{Konečné polia} % /*

\begin{veta}
	Nech $[F':F] = n$ a $|F| = q$. Potom $|F'| = q^n$.
\end{veta}

\begin{veta}
	Ak $F$ je konečné pole charakteristiky $p$, tak existuje $m \in \mathbb{N}$ také, že $|F| =
	p^n$ (pritom platí, že charakteristika ľubovoľného poľa je prvočíslo alebo $0$).
\end{veta}

\begin{veta}
	Každý prvok z poľa $F$, pričom $|F| = q$, je koreňom polynómu $x^p - x \in F[x]$.
\end{veta}

\begin{defn}
	Pole $F' \supset F$ nazývame \underline{rozkladovým poľom} polynómu $f(x) \in F[x]$, ak je
	najmenším poľom, nad ktorým sa dá polynóm $f(x)$ napísať v tvare súčinu lineárnych činiteľov.
\end{defn}

\begin{veta}
	Ak $p$ je ireducibilný polynóm nad poľom $F$, tak existuje jednoduché algebraické rozšírenie
	$F(u)$ generované koreňom polynómu $p$ (napr. $F[x]/p(x)$).
\end{veta}

\begin{veta}
	Pre každý polynóm $f$ nad poľom $F, st~f > 0$, existuje rozkladové pole $f$ nad $F$.
\end{veta}

\begin{veta}
	Ak $L, L'$ sú rozkladové polia polynómu $f$ nad $F$, tak $L$ je izomorfné s $L'$.
\end{veta}

\begin{veta}
	Pre každé číslo tvaru $q = p^n$, kde $p$ je prvočíslo, $n \in \mathbb{N}, n > 0$, existuje
	(okrem izomorfizmu) práve jedno $q$-prvkové pole. Je to rozkladové pole polynómu $x^q - x$ nad
	$\mathbb{Z}_p$.
\end{veta}

\begin{veta}
	Každé dve končné polia s rovnakým počtom prvkov sú izomorfné.
\end{veta}

% */

% vim: ts=4 tw=100
% vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/