Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
Diff for doc/statnica-matematika/02-algebra.tex between version 1.1 and 1.2


version 1.1, 2005/01/16 00:22:51
version 1.2, 2005/01/16 00:40:45



Line 10 




Line 10 




 % 2005-01-15 - created
 % 2005-01-15 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon$
 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.1 2005/01/16 00:22:51 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Algebra}
 \chapter{Algebra}


 
 


 
 \section{Úvod} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
 \underline{Usporiadaná dvojica:} $(a, b) = \{ \{ a \}, \{ a, b \} \}$


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
 \underline{Karteziánsky súčin $A$, $B$:}


 
 $A \times B = \{ (a, b) ~|~ a \in A, b \in B \}$


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
 \underline{Relácia $\varphi$:} $\varphi \subseteq A \times B$


 
 


 
 \begin{enumerate}


 
         \item reflexívna: $(x, x) \in \varphi$


 
         \item symetrická: $(x, y) \in \varphi \Rightarrow (y, x) \in \varphi$


 
         \item tranzitívna: $(x, y) \in \varphi \land (y, z) \in \varphi \Rightarrow (x, z) \in \varphi$


 
 \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
 \underline{Zobrazenie:} taká relácia $\varphi$, že $\forall x \in A:


 
 \exists ! y \in B: (x, y) \in \varphi$


 
 


 
 \begin{itemize}


 
         \item injektívne: $\forall x, y \in A: x \ne y \Rightarrow \varphi(x) \ne \varphi(y)$


 
         \item surjektívne: $\forall y \in B: \exists x \in A: \varphi(x) = y$


 
         \item bijektívne: injektívne a surjektívne zároveň


 
 \end{itemize}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
 \underline{Binárna operácia:}


 
 


 
 \begin{itemize}


 
         \item komutatívna: $a * b = b * a$


 
         \item asociatívna $a * (b * c) = (a * b) * c$


 
         \item neutrálny prvok $e$:\\


 
                 $x * e = x$\\


 
                 $e * x = x$


 
         \item inverzný prvok $x'$:\\


 
                 $x * x' = e$\\


 
                 $x' * x = e$


 
 \end{itemize}


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Grupy} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
 Usporiadaná dvojica $(G, +)$ sa nazýva \underline{grupa}, ak platí:


 
 


 
 \begin{enumerate}


 
         \item $G \ne \emptyset$


 
         \item $+$ je asociatívna binárna operácia na $G$


 
         \item $+$ má neutrálny prvok $e$


 
         \item $\forall x \in G: \exists x' \in G: x + x' = x' + x = e$


 
 \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
 Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{okruh}, ak platí:


 
 


 
 \begin{enumerate}


 
         \item $(A, +)$ je komutatívna grupa


 
         \item $\circ$ je binárna asociatívna operácia na $A$


 
         \item $\circ$ je distributívna vzhľadom na $+$


 
 \end{enumerate}


 
 


 
 Ak $\circ$ má $e$, tak okruh nazývame \underline{okruh s jednotkou}.\\


 
 Ak $\circ$ je komutatívna, tak okruh nazývame \underline{komutatívny okruh}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
 Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{obor integrity}, ak platí:


 
 


 
 \begin{enumerate}


 
         \item $(A, +, \circ)$ je okruh


 
         \item $\forall a, b \in A: a \ne 0 \land b \ne 0 \Rightarrow a \circ b \ne 0$


 
 \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
 Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{teleso}, ak platí:


 
 


 
 \begin{enumerate}


 
         \item $(A, +, \circ)$ je obor integrity


 
         \item $(A, +, \circ)$ má neutrálny prvok operácie $\circ$


 
 \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
 Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{pole}, ak platí:


 
 


 
 \begin{enumerate}


 
         \item $(A, +, \circ)$ je teleso


 
         \item $\circ$ je komutatívna


 
 \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Vektorové priestory} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Vektorový priestor} nad poľom $F$ je usporiadaná trojica $(V, +, \varphi)$, ktorá:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $(V, +)$ je komutatívna grupa


 
                 \item $\varphi$ je zobrazenie $\varphi: F \times V \to V$


 
                         zapisované $\varphi(c, \alpha) = c \alpha$, v ktorom pre $a, b \in F$ a $\alpha, \beta \in V$


 
                         platí:


 
                         \begin{enumerate}


 
                                 \item $(a + b) \alpha = a \alpha + b \alpha$


 
                                 \item $a (\alpha + \beta) = a \alpha + a \beta$


 
                                 \item $a(b \alpha) = (ab) \alpha$


 
                                 \item $1 \alpha = \alpha$


 
                         \end{enumerate}


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Hovoríme, že sústava $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ vektorov je


 
         \underline{lineárne závislá}, ak aspoň jeden z nich je


 
         lineárnou kombináciou zostávajúcich.


 
         % TODO linearna kombinacia


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Vektorový priestor $(V', \oplus, \psi)$ nazývame \underline{podpriestor} vektorového priestoru


 
         $(V, +, \varphi)$, ak platí:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $V' \subset V$


 
                 \item $\forall \alpha, \beta \in V': \alpha \oplus \beta = \alpha + \beta$


 
                 \item $\forall c \in F, \forall \alpha \in V': \psi(c, \alpha) = \varphi(c, \alpha)$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Bázou} vektorového priestoru $F$ nazývame lineárne \underline{nezávislú} sústavu


 
         vektorov $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ z $V$ nad $F$ takú, že sústava generuje vektorový


 
         priestor $V$. Označujeme $[\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n] = V$


 
 


 
         Číslo $n$ je počet vektorov v báze a nazývame ho \underline{dimenzia} vektorového priestoru.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}[Steinitzova o~výmene]


 
         Nech $V$ je vektorový priestor, $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú ľubovoľné vektory z~$V$


 
         také, že $V = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]$. Nech $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_m$ sú


 
         lineárne nezávislé vektory.\\


 
         Potom existuje $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, ..., \alpha_{i_k}$ také, že


 
         $[\beta_1, \beta_2, ..., \beta_m, \alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, ..., \alpha_{i_k}] = V$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Súčty podpriestorov} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $S$, $T$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ nad $F$.


 
         Potom ich \underline{lineárnym súčtom} nazývame množinu\\


 
         $S + T = \{ \alpha + \beta ~|~ \alpha \in S, \beta \in T \}$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $S$ a $T$ sú podpriestory $V$. Potom aj $S + T$ je podpriestor $V$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $S$ a $T$ sú podpriestory $V$.\\


 
         Potom $dim(S + T) = dim(S) + dim(T) - dim(S \cap T)$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $S$ a $T$ sú podpriestory $V$, nech $S \cap T = \{ \overline{0} \}$.\\


 
         Potom $S + T$ nazývame \underline{direktný súčet} $S$ a $T$ a označujeme ho $S \oplus T$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Linárne zobrazenia} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad $F$.\\


 
         Zobrazenie $\varphi: V \to W$ sa nazýva


 
         \underline{lineárne zobrazenie} ak, $\forall \alpha, \beta \in V, \forall c \in F$:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta)$


 
                 \item $\varphi(c \alpha) = c \varphi(\alpha)$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}[Základná veta o lineárnych zobrazeniach]


 
         Nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ je báza vektorového priestoru $V$. Nech $\beta_1,


 
         \beta_2, ..., \beta_n$ sú ľubovoľné (TODO asi je to blud, tiez ma byt baza?!) vektory z~$W$. Potom $\exists !$ lineárne zobrazenie


 
         $\varphi: V \to W$, pre ktoré platí:\\


 
         $\varphi(\alpha_1) = \beta_1, \varphi(\alpha_2) = \beta_2, ..., \varphi(\alpha_n) = \beta_n$.


 
 


 
         Toto zobrazenie je dané predpisom\\


 
         $\varphi(c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + ... + c_n \alpha_n) =


 
         c_1 \beta_1 + c_2 \beta_2 + ... + c_n \beta_n$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Matica lineárneho zobrazenia} \dots TODO nechapem


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}[Kompozícia lineárnych zobrazení]


 
         Nech $\varphi: U(F) \to V(F)$ a $\psi: V(F) \to W(F)$ sú lineárne zobrazenia.


 
         Potom aj $\psi \circ \varphi$ ($= \psi(\varphi)$) je lineárne zobrazenie.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Matica kompozície dvoch lineárnych zobrazení je súčin matíc týchto lineárnych zobrazení v~tomto


 
         poradí.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Inverzné lineárne zobrazenie]


 
         Inverzné zobrazenie k lineárnemu zobrazeniu, ak existuje, je opäť lineárne.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $\varphi: V(F) \to W(F)$ je lineárne zobrazenie.


 
         \begin{itemize}


 
                 \item \underline{Jadro zobrazenia} $\varphi$ je množina takých $\alpha \in V(F)$, pre ktoré


 
                         $\varphi(\alpha) = \overline{0}$.


 
                 \item \underline{Jadro zobrazenia} $\varphi$ je tiež funkcia $Ker(\varphi) = \{x \in V ~|~


 
                         \varphi(x) = \overline{0} \}$.


 
                 \item \underline{Obraz zobrazenia} $\varphi$ je možina takých $\beta \in W(f)$, pre ktoré


 
                         $\exists \alpha \in V(f): \varphi(\alpha) = \beta$.


 
                 \item \underline{Obraz zobrazenia} $\varphi$ je tiež funkcia


 
                         $Im(\varphi) = \{\varphi(x) \in W ~|~ x \in V\}$.


 
         \end{itemize}


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/


 
 









Legend:


Removed from v.1.1
 


changed lines


 
Added in v.1.2


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
-version 1.1, 2005/01/16 00:22:51
+version 1.2, 2005/01/16 00:40:45
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2005-01-15 - created
  %
- % $Platon$
+ % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.1 2005/01/16 00:22:51 nepto Exp $
  \chapter{Algebra}
+ \section{Úvod} % /*
+ \begin{defn}
+ \underline{Usporiadaná dvojica:} $(a, b) = \{ \{ a \}, \{ a, b \} \}$
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+ \underline{Karteziánsky súčin $A$, $B$:}
+ $A \times B = \{ (a, b) ~|~ a \in A, b \in B \}$
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+ \underline{Relácia $\varphi$:} $\varphi \subseteq A \times B$
+ \begin{enumerate}
+         \item reflexívna: $(x, x) \in \varphi$
+         \item symetrická: $(x, y) \in \varphi \Rightarrow (y, x) \in \varphi$
+         \item tranzitívna: $(x, y) \in \varphi \land (y, z) \in \varphi \Rightarrow (x, z) \in \varphi$
+ \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+ \underline{Zobrazenie:} taká relácia $\varphi$, že $\forall x \in A:
+ \exists ! y \in B: (x, y) \in \varphi$
+ \begin{itemize}
+         \item injektívne: $\forall x, y \in A: x \ne y \Rightarrow \varphi(x) \ne \varphi(y)$
+         \item surjektívne: $\forall y \in B: \exists x \in A: \varphi(x) = y$
+         \item bijektívne: injektívne a surjektívne zároveň
+ \end{itemize}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+ \underline{Binárna operácia:}
+ \begin{itemize}
+         \item komutatívna: $a * b = b * a$
+         \item asociatívna $a * (b * c) = (a * b) * c$
+         \item neutrálny prvok $e$:\\
+                 $x * e = x$\\
+                 $e * x = x$
+         \item inverzný prvok $x'$:\\
+                 $x * x' = e$\\
+                 $x' * x = e$
+ \end{itemize}
+ \end{defn}
+ % */
+ \section{Grupy} % /*
+ \begin{defn}
+ Usporiadaná dvojica $(G, +)$ sa nazýva \underline{grupa}, ak platí:
+ \begin{enumerate}
+         \item $G \ne \emptyset$
+         \item $+$ je asociatívna binárna operácia na $G$
+         \item $+$ má neutrálny prvok $e$
+         \item $\forall x \in G: \exists x' \in G: x + x' = x' + x = e$
+ \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+ Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{okruh}, ak platí:
+ \begin{enumerate}
+         \item $(A, +)$ je komutatívna grupa
+         \item $\circ$ je binárna asociatívna operácia na $A$
+         \item $\circ$ je distributívna vzhľadom na $+$
+ \end{enumerate}
+ Ak $\circ$ má $e$, tak okruh nazývame \underline{okruh s jednotkou}.\\
+ Ak $\circ$ je komutatívna, tak okruh nazývame \underline{komutatívny okruh}.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+ Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{obor integrity}, ak platí:
+ \begin{enumerate}
+         \item $(A, +, \circ)$ je okruh
+         \item $\forall a, b \in A: a \ne 0 \land b \ne 0 \Rightarrow a \circ b \ne 0$
+ \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+ Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{teleso}, ak platí:
+ \begin{enumerate}
+         \item $(A, +, \circ)$ je obor integrity
+         \item $(A, +, \circ)$ má neutrálny prvok operácie $\circ$
+ \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+ Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa nazýva \underline{pole}, ak platí:
+ \begin{enumerate}
+         \item $(A, +, \circ)$ je teleso
+         \item $\circ$ je komutatívna
+ \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ % */
+ \section{Vektorové priestory} % /*
+ \begin{defn}
+         \underline{Vektorový priestor} nad poľom $F$ je usporiadaná trojica $(V, +, \varphi)$, ktorá:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $(V, +)$ je komutatívna grupa
+                 \item $\varphi$ je zobrazenie $\varphi: F \times V \to V$
+                         zapisované $\varphi(c, \alpha) = c \alpha$, v ktorom pre $a, b \in F$ a $\alpha, \beta \in V$
+                         platí:
+                         \begin{enumerate}
+                                 \item $(a + b) \alpha = a \alpha + b \alpha$
+                                 \item $a (\alpha + \beta) = a \alpha + a \beta$
+                                 \item $a(b \alpha) = (ab) \alpha$
+                                 \item $1 \alpha = \alpha$
+                         \end{enumerate}
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Hovoríme, že sústava $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ vektorov je
+         \underline{lineárne závislá}, ak aspoň jeden z nich je
+         lineárnou kombináciou zostávajúcich.
+         % TODO linearna kombinacia
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Vektorový priestor $(V', \oplus, \psi)$ nazývame \underline{podpriestor} vektorového priestoru
+         $(V, +, \varphi)$, ak platí:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $V' \subset V$
+                 \item $\forall \alpha, \beta \in V': \alpha \oplus \beta = \alpha + \beta$
+                 \item $\forall c \in F, \forall \alpha \in V': \psi(c, \alpha) = \varphi(c, \alpha)$
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Bázou} vektorového priestoru $F$ nazývame lineárne \underline{nezávislú} sústavu
+         vektorov $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ z $V$ nad $F$ takú, že sústava generuje vektorový
+         priestor $V$. Označujeme $[\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n] = V$
+         Číslo $n$ je počet vektorov v báze a nazývame ho \underline{dimenzia} vektorového priestoru.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}[Steinitzova o~výmene]
+         Nech $V$ je vektorový priestor, $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú ľubovoľné vektory z~$V$
+         také, že $V = [\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n]$. Nech $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_m$ sú
+         lineárne nezávislé vektory.\\
+         Potom existuje $\alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, ..., \alpha_{i_k}$ také, že
+         $[\beta_1, \beta_2, ..., \beta_m, \alpha_{i_1}, \alpha_{i_2}, ..., \alpha_{i_k}] = V$.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Súčty podpriestorov} % /*
+ \begin{defn}
+         Nech $S$, $T$ sú podpriestory vektorového priestoru $V$ nad $F$.
+         Potom ich \underline{lineárnym súčtom} nazývame množinu\\
+         $S + T = \{ \alpha + \beta ~|~ \alpha \in S, \beta \in T \}$.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Nech $S$ a $T$ sú podpriestory $V$. Potom aj $S + T$ je podpriestor $V$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Nech $S$ a $T$ sú podpriestory $V$.\\
+         Potom $dim(S + T) = dim(S) + dim(T) - dim(S \cap T)$.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Nech $S$ a $T$ sú podpriestory $V$, nech $S \cap T = \{ \overline{0} \}$.\\
+         Potom $S + T$ nazývame \underline{direktný súčet} $S$ a $T$ a označujeme ho $S \oplus T$.
+ \end{defn}
+ % */
+ \section{Linárne zobrazenia} % /*
+ \begin{defn}
+         Nech $V$ a $W$ sú vektorové priestory nad $F$.\\
+         Zobrazenie $\varphi: V \to W$ sa nazýva
+         \underline{lineárne zobrazenie} ak, $\forall \alpha, \beta \in V, \forall c \in F$:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $\varphi(\alpha + \beta) = \varphi(\alpha) + \varphi(\beta)$
+                 \item $\varphi(c \alpha) = c \varphi(\alpha)$
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{veta}[Základná veta o lineárnych zobrazeniach]
+         Nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ je báza vektorového priestoru $V$. Nech $\beta_1,
+         \beta_2, ..., \beta_n$ sú ľubovoľné (TODO asi je to blud, tiez ma byt baza?!) vektory z~$W$. Potom $\exists !$ lineárne zobrazenie
+         $\varphi: V \to W$, pre ktoré platí:\\
+         $\varphi(\alpha_1) = \beta_1, \varphi(\alpha_2) = \beta_2, ..., \varphi(\alpha_n) = \beta_n$.
+         Toto zobrazenie je dané predpisom\\
+         $\varphi(c_1 \alpha_1 + c_2 \alpha_2 + ... + c_n \alpha_n) =
+         c_1 \beta_1 + c_2 \beta_2 + ... + c_n \beta_n$.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         \underline{Matica lineárneho zobrazenia} \dots TODO nechapem
+ \end{defn}
+ \begin{veta}[Kompozícia lineárnych zobrazení]
+         Nech $\varphi: U(F) \to V(F)$ a $\psi: V(F) \to W(F)$ sú lineárne zobrazenia.
+         Potom aj $\psi \circ \varphi$ ($= \psi(\varphi)$) je lineárne zobrazenie.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Matica kompozície dvoch lineárnych zobrazení je súčin matíc týchto lineárnych zobrazení v~tomto
+         poradí.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Inverzné lineárne zobrazenie]
+         Inverzné zobrazenie k lineárnemu zobrazeniu, ak existuje, je opäť lineárne.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Nech $\varphi: V(F) \to W(F)$ je lineárne zobrazenie.
+         \begin{itemize}
+                 \item \underline{Jadro zobrazenia} $\varphi$ je množina takých $\alpha \in V(F)$, pre ktoré
+                         $\varphi(\alpha) = \overline{0}$.
+                 \item \underline{Jadro zobrazenia} $\varphi$ je tiež funkcia $Ker(\varphi) = \{x \in V ~|~
+                         \varphi(x) = \overline{0} \}$.
+                 \item \underline{Obraz zobrazenia} $\varphi$ je možina takých $\beta \in W(f)$, pre ktoré
+                         $\exists \alpha \in V(f): \varphi(\alpha) = \beta$.
+                 \item \underline{Obraz zobrazenia} $\varphi$ je tiež funkcia
+                         $Im(\varphi) = \{\varphi(x) \in W ~|~ x \in V\}$.
+         \end{itemize}
+ \end{defn}
+ % */
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.1
 


changed lines


 
Added in v.1.2
 Legend:


Removed from v.1.1
 


changed lines


 
Added in v.1.2
-Removed from v.1.1
+Added in v.1.2


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top