Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
Diff for doc/statnica-matematika/02-algebra.tex between version 1.2 and 1.3


version 1.2, 2005/01/16 00:40:45
version 1.3, 2005/01/16 09:49:36



Line 10 




Line 10 




 % 2005-01-15 - created
 % 2005-01-15 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.1 2005/01/16 00:22:51 nepto Exp $
 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.2 2005/01/16 00:40:45 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Algebra}
 \chapter{Algebra}


 
 




Line 252  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n




Line 252  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n




 
 


 % */
 % */


 
 


 
 \section{Matice} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $F$ je pole. Obdĺžniková tabuľka prvkov poľa~$F$ s~$m$~riadkami a~$n$~stĺpcami sa nazýva


 
         \underline{matica typu $m \times n$} nad poľom $F$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Transponovanou maticou} k matici $A = \mat{a}$ typu $m \times n$ je matica $B = A^T =


 
         \mat{b}$ typu $n \times m$ s vlastnosťou $b_{ij} = a_{ji}$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Riadkovým priestorom} matice $A = \mat{a}$ typu $m \times n$ je vektorový podpriestor $F^n$


 
         generovaný všetkými riadkovými vektormi matice.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Riadkovou (stĺpcovou) hodnosťou} matice $A = \mat{a}$ typu $m \times n$ rozumieme


 
         dimenziu jej riadkového (stĺpcového) priestoru.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Elementárna riadková operácia} na matici $A$ nad $F$ je:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item vzájomná výmena dvoch riadkov


 
                 \item vynásobenie niektorého riadku nenulovým prvkom $c \in F$


 
                 \item pripočítanie $i$-tého riadku k $j$-tému riadku


 
                 \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Matice $A$ a $B$ sú \underline{riadkovo ekvivalentné}, ak existuje konečná postupnosť


 
         elementárnych riadkových operácií, ktorými upravíme $A$ na $B$.


 
 


 
         Relácia riadkovej ekvivalencie je reláciou ekvivalencie.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Matica $A$ typu $m \times n$ nad $F$ je \underline{trojuholníková redukovaná}, ak platia


 
         nasledujúce tvrdenia:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item vedúci prvok každého nenulového riadku je $1$


 
                 \item nech $t_1, t_2, ..., t_k$ je postupnosť indexov vedúcich prvkov, potom je táto


 
                         postupnosť rastúca


 
                 \item všetky prvky matice $A$ ležiace nad a pod vedúcim prvkom sú nuly


 
                 \item každý nulový riadok matice $A$ sa nachádza za ľubovoľným nenulovým riadkom matice $A$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Riadkovo ekvivalentným maticiam prislúcha ten istý vektorový priestor.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Redukcia ľubovoľnej matice]


 
         Každá matica je riadkovo ekvivalentná s nejakou trojuholníkovou redukovanou.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Systémy lineárnych rovníc} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Koreň (riešenie)} sústavy $\forall i \in 1..m \sum^n_{j=1} a_{ij} x_j = b_i$ je každá


 
         usporiadaná $n$-tica z $z_1, z_2, ..., z_n$ o ktorej platí $\forall i \in 1..m \sum^n_{j=1}


 
         a_{ij} z_j = b_i$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Systém lineárnych rovníc nazývame \underline{homogénny}, ak má tvar


 
         $\forall i \in 1..m \sum^n_{j=1} a_{ij} x_j = 0$


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn} ~\\


 
         \underline{Matica sústavy:} TODO picture\\


 
         \underline{Rozšírená matica sústavy:} TODO picture


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}[Frobeniova]


 
         Sústava lineárnych rovníc má aspoň jeden koreň práve vtedy, hodnosť matice tejto sústavy sa


 
         rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy.


 
         TODO think about this!


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Množina všetkých koreňov homogénnej sústavy lineárnych rovníc tvorí vektorový podpriestor


 
         vektorového priestory $F^n$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Fundamentálny systém} homogénnej sústavy lineárnych rovníc je každá báza vektorového


 
         priestoru všetkých koreňov tejto sústavy.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech sústava lineárnych rovníc má aspoň jeden koreň, nech je to $\beta = (y_1, y_2, ..., y_n)$.


 
         Potom každý koreň tejto sústavy sa dá napísať v tvare $\gamma = \beta + \alpha$, kde $\alpha$ je


 
         vhodný koreň homogénnej sústavy prislúchjúcej k danej sústave.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Determinanty} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $A$ je štvorcová matica stupňa $n$ nad $F$. \underline{Determinantom} matice $A$ označujeme súčet


 
 


 
         $$\sum_{\varphi \in P(\{1..n\})} (-1)^{\tau(\varphi)} a_{1,\varphi(1)} a_{2,\varphi(2)} ...


 
         a_{n,\varphi(n)} := |A|$$


 
 


 
         kde $P$ je množina permutácií prvkov $\{1..n\}$ a $\tau(\varphi)$


 
         je parita permutácie $\varphi$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Minor prislúchajúci prvku $a_{ij}$} je determinant matice, ktorá vznikne vypustením


 
         $i$-teho riadka a $j$-teho stĺpca. Označujeme $M_{ij}$. Ak $i=j$, hovoríme o~\underline{hlavnom


 
         minore}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Algebraickým doplnkom} prvku $a_{ij}$ matice $A$ nazývame číslo


 
         $A_{ij} = (-1)^{i+j} |M_{ij}|$. Definície sa rôznia: niekde je uvádzané, že $A_{ij}$ je to isté


 
         ako $M_{ij}$, teda nie skalár, ale matica. My budeme používať prvú definíciu.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $A$ je typu $n \times n$ nad $F$. Potom:


 
         \begin{enumerate}


 
         \item ak k $i$-temu riadku pripočítame $j$-tý riadok, determinant sa nezmení


 
         \item ak vymeníme medzi sebou dva riadky, determinant zmení znamenienko


 
         \item ak vynásobíme $i$-ty riadok nenulovým skalárom $c \in F$, potom determinant upravenej matice


 
                 bude $c$-násobkom pôvodnej matice


 
         \end{enumerate}


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ak $A$ je typu $n \times n$ nad $F$, potom $|A| = |A^T|$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Laplaceov rozvoj]


 
         $$\forall i \in {1..n}: |A| = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + ... + a_{in} A_{in}$$


 
         $$\forall j \in {1..n}: |A| = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + ... + a_{nj} A_{nj}$$


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ak $A$ typu $n \times n$ je regulárna, potom $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj A$, kde


 
         $adj A = (... TODO picture ...)$


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Cramerovo pravidlo]


 
         Ak determinant matice $A$ systému $n$ lineárnych rovníc o $n$ neznámych je nenulový, tak systém


 
         ma práve jedno riešenie tvaru:


 
 


 
         $$x_1 = \frac{|D_1|}{|A|}, x_2 = \frac{|D_2|}{|A|}, ..., x_n = \frac{|D_n|}{|A|}$$


 
 


 
         kde $D_i$ je matica, ktorá vznikne z $A$ nahradením $i$-teho stĺpca absolútnymi členmi


 
         (tj.~pravou stranou sústavy).


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/


 
 









Legend:


Removed from v.1.2
 


changed lines


 
Added in v.1.3


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
-version 1.2, 2005/01/16 00:40:45
+version 1.3, 2005/01/16 09:49:36
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2005-01-15 - created
  %
- % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.1 2005/01/16 00:22:51 nepto Exp $
+ % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.2 2005/01/16 00:40:45 nepto Exp $
  \chapter{Algebra}
 Line 252  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
 Line 252  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
 Line 252  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
  % */
+ \section{Matice} % /*
+ \begin{defn}
+         Nech $F$ je pole. Obdĺžniková tabuľka prvkov poľa~$F$ s~$m$~riadkami a~$n$~stĺpcami sa nazýva
+         \underline{matica typu $m \times n$} nad poľom $F$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Transponovanou maticou} k matici $A = \mat{a}$ typu $m \times n$ je matica $B = A^T =
+         \mat{b}$ typu $n \times m$ s vlastnosťou $b_{ij} = a_{ji}$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Riadkovým priestorom} matice $A = \mat{a}$ typu $m \times n$ je vektorový podpriestor $F^n$
+         generovaný všetkými riadkovými vektormi matice.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Riadkovou (stĺpcovou) hodnosťou} matice $A = \mat{a}$ typu $m \times n$ rozumieme
+         dimenziu jej riadkového (stĺpcového) priestoru.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Elementárna riadková operácia} na matici $A$ nad $F$ je:
+         \begin{enumerate}
+                 \item vzájomná výmena dvoch riadkov
+                 \item vynásobenie niektorého riadku nenulovým prvkom $c \in F$
+                 \item pripočítanie $i$-tého riadku k $j$-tému riadku
+                 \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Matice $A$ a $B$ sú \underline{riadkovo ekvivalentné}, ak existuje konečná postupnosť
+         elementárnych riadkových operácií, ktorými upravíme $A$ na $B$.
+         Relácia riadkovej ekvivalencie je reláciou ekvivalencie.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Matica $A$ typu $m \times n$ nad $F$ je \underline{trojuholníková redukovaná}, ak platia
+         nasledujúce tvrdenia:
+         \begin{enumerate}
+                 \item vedúci prvok každého nenulového riadku je $1$
+                 \item nech $t_1, t_2, ..., t_k$ je postupnosť indexov vedúcich prvkov, potom je táto
+                         postupnosť rastúca
+                 \item všetky prvky matice $A$ ležiace nad a pod vedúcim prvkom sú nuly
+                 \item každý nulový riadok matice $A$ sa nachádza za ľubovoľným nenulovým riadkom matice $A$
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Riadkovo ekvivalentným maticiam prislúcha ten istý vektorový priestor.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Redukcia ľubovoľnej matice]
+         Každá matica je riadkovo ekvivalentná s nejakou trojuholníkovou redukovanou.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Systémy lineárnych rovníc} % /*
+ \begin{defn}
+         \underline{Koreň (riešenie)} sústavy $\forall i \in 1..m \sum^n_{j=1} a_{ij} x_j = b_i$ je každá
+         usporiadaná $n$-tica z $z_1, z_2, ..., z_n$ o ktorej platí $\forall i \in 1..m \sum^n_{j=1}
+         a_{ij} z_j = b_i$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Systém lineárnych rovníc nazývame \underline{homogénny}, ak má tvar
+         $\forall i \in 1..m \sum^n_{j=1} a_{ij} x_j = 0$
+ \end{defn}
+ \begin{defn} ~\\
+         \underline{Matica sústavy:} TODO picture\\
+         \underline{Rozšírená matica sústavy:} TODO picture
+ \end{defn}
+ \begin{veta}[Frobeniova]
+         Sústava lineárnych rovníc má aspoň jeden koreň práve vtedy, hodnosť matice tejto sústavy sa
+         rovná hodnosti rozšírenej matice sústavy.
+         TODO think about this!
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Množina všetkých koreňov homogénnej sústavy lineárnych rovníc tvorí vektorový podpriestor
+         vektorového priestory $F^n$.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         \underline{Fundamentálny systém} homogénnej sústavy lineárnych rovníc je každá báza vektorového
+         priestoru všetkých koreňov tejto sústavy.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Nech sústava lineárnych rovníc má aspoň jeden koreň, nech je to $\beta = (y_1, y_2, ..., y_n)$.
+         Potom každý koreň tejto sústavy sa dá napísať v tvare $\gamma = \beta + \alpha$, kde $\alpha$ je
+         vhodný koreň homogénnej sústavy prislúchjúcej k danej sústave.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Determinanty} % /*
+ \begin{defn}
+         Nech $A$ je štvorcová matica stupňa $n$ nad $F$. \underline{Determinantom} matice $A$ označujeme súčet
+         $$\sum_{\varphi \in P(\{1..n\})} (-1)^{\tau(\varphi)} a_{1,\varphi(1)} a_{2,\varphi(2)} ...
+         a_{n,\varphi(n)} := |A|$$
+         kde $P$ je množina permutácií prvkov $\{1..n\}$ a $\tau(\varphi)$
+         je parita permutácie $\varphi$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Minor prislúchajúci prvku $a_{ij}$} je determinant matice, ktorá vznikne vypustením
+         $i$-teho riadka a $j$-teho stĺpca. Označujeme $M_{ij}$. Ak $i=j$, hovoríme o~\underline{hlavnom
+         minore}.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Algebraickým doplnkom} prvku $a_{ij}$ matice $A$ nazývame číslo
+         $A_{ij} = (-1)^{i+j} |M_{ij}|$. Definície sa rôznia: niekde je uvádzané, že $A_{ij}$ je to isté
+         ako $M_{ij}$, teda nie skalár, ale matica. My budeme používať prvú definíciu.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Nech $A$ je typu $n \times n$ nad $F$. Potom:
+         \begin{enumerate}
+         \item ak k $i$-temu riadku pripočítame $j$-tý riadok, determinant sa nezmení
+         \item ak vymeníme medzi sebou dva riadky, determinant zmení znamenienko
+         \item ak vynásobíme $i$-ty riadok nenulovým skalárom $c \in F$, potom determinant upravenej matice
+                 bude $c$-násobkom pôvodnej matice
+         \end{enumerate}
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Ak $A$ je typu $n \times n$ nad $F$, potom $|A| = |A^T|$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Laplaceov rozvoj]
+         $$\forall i \in {1..n}: |A| = a_{i1} A_{i1} + a_{i2} A_{i2} + ... + a_{in} A_{in}$$
+         $$\forall j \in {1..n}: |A| = a_{1j} A_{1j} + a_{2j} A_{2j} + ... + a_{nj} A_{nj}$$
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Ak $A$ typu $n \times n$ je regulárna, potom $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj A$, kde
+         $adj A = (... TODO picture ...)$
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Cramerovo pravidlo]
+         Ak determinant matice $A$ systému $n$ lineárnych rovníc o $n$ neznámych je nenulový, tak systém
+         ma práve jedno riešenie tvaru:
+         $$x_1 = \frac{|D_1|}{|A|}, x_2 = \frac{|D_2|}{|A|}, ..., x_n = \frac{|D_n|}{|A|}$$
+         kde $D_i$ je matica, ktorá vznikne z $A$ nahradením $i$-teho stĺpca absolútnymi členmi
+         (tj.~pravou stranou sústavy).
+ \end{veta}
+ % */
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.2
 


changed lines


 
Added in v.1.3
 Legend:


Removed from v.1.2
 


changed lines


 
Added in v.1.3
-Removed from v.1.2
+Added in v.1.3


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top