Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
Diff for doc/statnica-matematika/02-algebra.tex between version 1.3 and 1.4


version 1.3, 2005/01/16 09:49:36
version 1.4, 2005/01/16 14:57:32



Line 10 




Line 10 




 % 2005-01-15 - created
 % 2005-01-15 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.2 2005/01/16 00:40:45 nepto Exp $
 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.3 2005/01/16 09:49:36 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Algebra}
 \chapter{Algebra}


 
 




Line 414  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n




Line 414  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n




 
 


 % */
 % */


 
 


 
 \section{Euklidovské priestory} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Euklidovský priestorom} nazývame usporiadanú dvojicu $(E, \varphi)$, kde $E$ je


 
         vektorový priestor nad $\mathbb{R}$ a $\varphi: E \times E \to \mathbb{R}$ je zobrazenie


 
         nazývané \underline{sklárny súčin} (zapisujeme $\varphi(\alpha, \beta) = \angle{\alpha, \beta}$)


 
         pričom $\forall \alpha, \alpha', \beta \in E, \forall c \in


 
         \mathbb{R}$ platí:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $\angle{\alpha, \alpha} \ge 0, \angle{\alpha, \alpha} = 0 \Leftrightarrow \alpha = \overline{0}$


 
                 \item $\angle{\alpha + \alpha', \beta} = \angle{\alpha, \beta} + \angle{\alpha', \beta}$


 
                 \item $\angle{\alpha, \beta} = \angle{\beta, \alpha}$


 
                 \item $\angle{c \alpha, \beta} = c \angle{\alpha, \beta}$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Matica skalárneho súčinu $\varphi$} je matica $\mat{\varphi}$, pre ktorú platí


 
         $\angle{\alpha, \beta} = \overline{\alpha} \cdot \mat{\varphi} \cdot \overline{\beta}^T$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Dĺžka (norma) vektora $\alpha$} je $\pll{\alpha} = \sqrt{ \langle \alpha, \alpha \rangle }$


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Uhol $\varphi$ vektorov $\alpha$ a $\beta$} je $cos \varphi = \frac{\angle{\alpha,


 
         \beta}}{\pll{\alpha} \pll{\beta}}$


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         V euklidovskom vektorovom priestore platí:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $\pll{c \cdot \alpha} = |c| \cdot \pll{\alpha}$


 
                 \item $\pll{\alpha} > 0$ pre $\alpha \ne \overline{0}$


 
                 \item $|\angle{\alpha, \beta}| \le \pll{\alpha} \cdot \pll{\beta}$ \hfill (Schwarzova nerovnosť)


 
                 \item $\pll{\alpha + \beta} \le \pll{\alpha} + \pll{\beta}$ \hfill (Trojuholníková nerovnosť)


 
         \end{enumerate}


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n \in E(V, \varphi)$. Nech $\forall i, j \in \{1..n\}$


 
         také, že $i \ne j$ platí:


 
         \begin{itemize}


 
                 \item $\angle{\alpha_i, \alpha_j} = 0$, potom vektory $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú


 
                         \underline{ortogonálne}


 
                 \item $\angle{\alpha_i, \alpha_j} = 0$ a $\pll{\alpha_i} = 1$, potom vektory $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú


 
                         \underline{ortonormálne}


 
         \end{itemize}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $M$ je podmnožina vektorového priestoru $E$.\\


 
         Potom \underline{ortogonálnym doplnkom}


 
         množiny $M$ nazývame množinu $$M^\perp = \{ \alpha ~|~ \alpha \in E \land \forall \beta \in M:


 
         \angle{\alpha, \beta} = 0 \}$$


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n \in (E, \varphi)$ a $dim(E, \varphi) = n$. Potom vektory


 
         $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ tvoria \underline{ortonormálnu bázu} vektorového priestoru


 
         $E$, ak sú ortonormálne, tj. sú ortogonálne s dĺžkou $1$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ortogonálne vektory Euklidovského vektorového priestoru sú lineárne nezávislé.


 
 


 
         Ak je počet ortogonálnych vektorov taký aká je dimenzia priestoru, potom tvoria bázu priestoru.


 
         Ak sú navyše ortonormálne, tvoria ortonormálnu bázu.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Gramm-Schmidtova ortogonalizačná metóda]


 
         Nech vektory $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú lineárne nezávislé z euklidovského


 
         vektorového priestoru~$E$. Potom existuje ortonormálna báza $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$


 
         taká, že $$[\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n] = [\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n]$$


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{example}


 
         $\alpha_1 = (1, 0, 0, 1), \alpha_2 = (0, 1, 0, 2), \alpha_3 = (0, 0, 1, 2)$\\


 
         $\beta_1 = \alpha_1 = (1, 0, 0, 1)$\\


 
         $\beta_2 = \alpha_2 + c_{21} \beta_1$, takže $\angle{\beta_1, \beta_2} = 0 => c_{21} =>


 
         \beta_2$\\


 
         $\beta_3 = \alpha_3 + c_{32} \beta_2 + c_{31} \beta_1$, takže $\angle{\beta_1, \beta_3} = 0


 
         \land \angle{\beta_2, \beta_3} = 0 => c_{32}, c_{31} => \beta_3$


 
 


 
         Nakoniec $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ normalizujeme.


 
 \end{example}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Kvadratické formy} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $n \in \mathbb{N}$, ďalej $i,j \in \{1, ..., n\}$ a tiež $x_1, ..., x_n$ sú premenné. Potom


 
         \underline{kvadratickou formou} $n$ premenných $x_1, ..., x_n$ nazývame výraz


 
         $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_{i} x_{j}$$


 
         kde $a_{ij} \in F$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Kvadratická forma $f(x,y) = x A y^T$ je \underline{kladne defnitná}, keď pre $x \ne 0, y \ne 0$


 
         je vždy $f \ge 0$.


 
 


 
         Ak pre $x \ne 0, y \ne 0$ je $f \ge 0$, hovoríme o \underline{kladnej seminidefinitnosti}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}[Maticka kvadratickej formy]


 
         Každú kvadratickú formu $n$ premenných $x_1, x_2, ..., x_n$ je možné vyjadriť práve jedným


 
         spôsobom v tvare $X \cdot A \cdot X^T$, kde $X = (x_1, x_2, ..., x_n)$ a $A$ je štvorcová


 
         symetrická matica stupňa $n$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Kanonický tvar kvadratickej formy]


 
         Každú kvadratickú formu $n$ premenných $x_1, x_2, ..., x_n$ možno vhodnou lineárnou


 
         transformáciou premenných upraviť na tvar $y_1^2 + ... + y_k^2 - y_{k+1}^2 - ... - y_s^2$,


 
         kde $s \le n$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Silvestrov zákon zotrvačnosti]


 
         Ak kvadratickú formu upravíme dvoma spôsobmi tak, že v nových formách vystupujú iba druhé


 
         mocniny premenných s koeficientami $\pm 1$, tak počet kladných aj počet záporných druhých mocnín


 
         je v obidvoch formách rovnaký.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Silvestrova podmienka]


 
         Kvadratická forma $X \cdot A \cdot X^T$ so symetrickou maticou $A = \mat{a}$ je kladne


 
         semidefinitná práve vtedy, keď pre každé $k \in \{1, \dots, n\}$ je $D_k > 0$, kde $D_k$ je


 
         determinant matice


 
 


 
         TODO picture


 
 \end{veta}


 
 


 
 TODO nieco o stvorcovych maticiach


 
 


 
 % */


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/


 
 









Legend:


Removed from v.1.3
 


changed lines


 
Added in v.1.4


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
-version 1.3, 2005/01/16 09:49:36
+version 1.4, 2005/01/16 14:57:32
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2005-01-15 - created
  %
- % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.2 2005/01/16 00:40:45 nepto Exp $
+ % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.3 2005/01/16 09:49:36 nepto Exp $
  \chapter{Algebra}
 Line 414  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
 Line 414  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
 Line 414  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
  % */
+ \section{Euklidovské priestory} % /*
+ \begin{defn}
+         \underline{Euklidovský priestorom} nazývame usporiadanú dvojicu $(E, \varphi)$, kde $E$ je
+         vektorový priestor nad $\mathbb{R}$ a $\varphi: E \times E \to \mathbb{R}$ je zobrazenie
+         nazývané \underline{sklárny súčin} (zapisujeme $\varphi(\alpha, \beta) = \angle{\alpha, \beta}$)
+         pričom $\forall \alpha, \alpha', \beta \in E, \forall c \in
+         \mathbb{R}$ platí:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $\angle{\alpha, \alpha} \ge 0, \angle{\alpha, \alpha} = 0 \Leftrightarrow \alpha = \overline{0}$
+                 \item $\angle{\alpha + \alpha', \beta} = \angle{\alpha, \beta} + \angle{\alpha', \beta}$
+                 \item $\angle{\alpha, \beta} = \angle{\beta, \alpha}$
+                 \item $\angle{c \alpha, \beta} = c \angle{\alpha, \beta}$
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Matica skalárneho súčinu $\varphi$} je matica $\mat{\varphi}$, pre ktorú platí
+         $\angle{\alpha, \beta} = \overline{\alpha} \cdot \mat{\varphi} \cdot \overline{\beta}^T$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Dĺžka (norma) vektora $\alpha$} je $\pll{\alpha} = \sqrt{ \langle \alpha, \alpha \rangle }$
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Uhol $\varphi$ vektorov $\alpha$ a $\beta$} je $cos \varphi = \frac{\angle{\alpha,
+         \beta}}{\pll{\alpha} \pll{\beta}}$
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         V euklidovskom vektorovom priestore platí:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $\pll{c \cdot \alpha} = |c| \cdot \pll{\alpha}$
+                 \item $\pll{\alpha} > 0$ pre $\alpha \ne \overline{0}$
+                 \item $|\angle{\alpha, \beta}| \le \pll{\alpha} \cdot \pll{\beta}$ \hfill (Schwarzova nerovnosť)
+                 \item $\pll{\alpha + \beta} \le \pll{\alpha} + \pll{\beta}$ \hfill (Trojuholníková nerovnosť)
+         \end{enumerate}
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n \in E(V, \varphi)$. Nech $\forall i, j \in \{1..n\}$
+         také, že $i \ne j$ platí:
+         \begin{itemize}
+                 \item $\angle{\alpha_i, \alpha_j} = 0$, potom vektory $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú
+                         \underline{ortogonálne}
+                 \item $\angle{\alpha_i, \alpha_j} = 0$ a $\pll{\alpha_i} = 1$, potom vektory $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú
+                         \underline{ortonormálne}
+         \end{itemize}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Nech $M$ je podmnožina vektorového priestoru $E$.\\
+         Potom \underline{ortogonálnym doplnkom}
+         množiny $M$ nazývame množinu $$M^\perp = \{ \alpha ~|~ \alpha \in E \land \forall \beta \in M:
+         \angle{\alpha, \beta} = 0 \}$$
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n \in (E, \varphi)$ a $dim(E, \varphi) = n$. Potom vektory
+         $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ tvoria \underline{ortonormálnu bázu} vektorového priestoru
+         $E$, ak sú ortonormálne, tj. sú ortogonálne s dĺžkou $1$.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Ortogonálne vektory Euklidovského vektorového priestoru sú lineárne nezávislé.
+         Ak je počet ortogonálnych vektorov taký aká je dimenzia priestoru, potom tvoria bázu priestoru.
+         Ak sú navyše ortonormálne, tvoria ortonormálnu bázu.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Gramm-Schmidtova ortogonalizačná metóda]
+         Nech vektory $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ sú lineárne nezávislé z euklidovského
+         vektorového priestoru~$E$. Potom existuje ortonormálna báza $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$
+         taká, že $$[\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n] = [\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n]$$
+ \end{veta}
+ \begin{example}
+         $\alpha_1 = (1, 0, 0, 1), \alpha_2 = (0, 1, 0, 2), \alpha_3 = (0, 0, 1, 2)$\\
+         $\beta_1 = \alpha_1 = (1, 0, 0, 1)$\\
+         $\beta_2 = \alpha_2 + c_{21} \beta_1$, takže $\angle{\beta_1, \beta_2} = 0 => c_{21} =>
+         \beta_2$\\
+         $\beta_3 = \alpha_3 + c_{32} \beta_2 + c_{31} \beta_1$, takže $\angle{\beta_1, \beta_3} = 0
+         \land \angle{\beta_2, \beta_3} = 0 => c_{32}, c_{31} => \beta_3$
+         Nakoniec $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ normalizujeme.
+ \end{example}
+ % */
+ \section{Kvadratické formy} % /*
+ \begin{defn}
+         Nech $n \in \mathbb{N}$, ďalej $i,j \in \{1, ..., n\}$ a tiež $x_1, ..., x_n$ sú premenné. Potom
+         \underline{kvadratickou formou} $n$ premenných $x_1, ..., x_n$ nazývame výraz
+         $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} a_{ij} x_{i} x_{j}$$
+         kde $a_{ij} \in F$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Kvadratická forma $f(x,y) = x A y^T$ je \underline{kladne defnitná}, keď pre $x \ne 0, y \ne 0$
+         je vždy $f \ge 0$.
+         Ak pre $x \ne 0, y \ne 0$ je $f \ge 0$, hovoríme o \underline{kladnej seminidefinitnosti}.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}[Maticka kvadratickej formy]
+         Každú kvadratickú formu $n$ premenných $x_1, x_2, ..., x_n$ je možné vyjadriť práve jedným
+         spôsobom v tvare $X \cdot A \cdot X^T$, kde $X = (x_1, x_2, ..., x_n)$ a $A$ je štvorcová
+         symetrická matica stupňa $n$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Kanonický tvar kvadratickej formy]
+         Každú kvadratickú formu $n$ premenných $x_1, x_2, ..., x_n$ možno vhodnou lineárnou
+         transformáciou premenných upraviť na tvar $y_1^2 + ... + y_k^2 - y_{k+1}^2 - ... - y_s^2$,
+         kde $s \le n$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Silvestrov zákon zotrvačnosti]
+         Ak kvadratickú formu upravíme dvoma spôsobmi tak, že v nových formách vystupujú iba druhé
+         mocniny premenných s koeficientami $\pm 1$, tak počet kladných aj počet záporných druhých mocnín
+         je v obidvoch formách rovnaký.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Silvestrova podmienka]
+         Kvadratická forma $X \cdot A \cdot X^T$ so symetrickou maticou $A = \mat{a}$ je kladne
+         semidefinitná práve vtedy, keď pre každé $k \in \{1, \dots, n\}$ je $D_k > 0$, kde $D_k$ je
+         determinant matice
+         TODO picture
+ \end{veta}
+ TODO nieco o stvorcovych maticiach
+ % */
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.3
 


changed lines


 
Added in v.1.4
 Legend:


Removed from v.1.3
 


changed lines


 
Added in v.1.4
-Removed from v.1.3
+Added in v.1.4


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top