Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
Diff for doc/statnica-matematika/02-algebra.tex between version 1.4 and 1.5


version 1.4, 2005/01/16 14:57:32
version 1.5, 2005/01/16 16:19:14



Line 10 




Line 10 




 % 2005-01-15 - created
 % 2005-01-15 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.3 2005/01/16 09:49:36 nepto Exp $
 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.4 2005/01/16 14:57:32 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Algebra}
 \chapter{Algebra}


 
 




Line 550  TODO nieco o stvorcovych maticiach




Line 550  TODO nieco o stvorcovych maticiach




 
 


 % */
 % */


 
 


 
 \section{Podobnosť matíc} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Regulárna matica} je každá štvorcová matica stupňa $n$, ktorej hodnosť je~$n$. V


 
         opačnom prípade hovoríme o~\underline{singulárnej matici}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Matice $A$ a $B$ typu $n \times n$ nazývame \underline{podobnými}, ak existuje regulárna matica


 
         $P$ typu $n \times n$ taká, že $B = P A P^{-1}$ (ide o reláciu ekvivalencie).


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $\varphi: V(R) \to V(R)$ je lineárne zobrazenie, nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$


 
         je ľubovoľná báza $V(R)$. Nech $\varphi(\alpha_i) = a_{i1} \alpha_1 + a_{i2} \alpha_2 + ... +


 
         a_{in} \alpha_n$ pre $i \in 1..n$. Potom \underline{maticou transformácie} $\varphi$ vzhľadom na


 
         bázu $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ nazývame maticu


 
 


 
         TODO PICTURE


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $A$ je matica lineárneho zobrazenia $\varphi: V(\mathbb{R}) \to V(\mathbb{R})$ vzhľadom na


 
         bázu $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$. Nech $X$ je $n$-tica súradníc vektora $\alpha \in


 
         V(\mathbb{R})$ vzhľadom na bázu $\alpha_i$. Potom $Y = XA$ je $n$-tica súradníc vektora


 
         $\varphi(\alpha)$ vzhľadom na $\alpha_i$


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $A$ je matica lineárneho zobrazenia $\varphi$ vzhľadom na bázu $\alpha_1, \alpha_2, ...,


 
         \alpha_n$. Nech $B$ je matica vzhľadom na bázu $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$. Nech $P$ je


 
         matica prechodu od bázy $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ k báze $\beta_1, \beta_2, ...,


 
         \beta_n$. Potom $B = P \cdot A \cdot P^{-1}$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $f, g: V(\mathbb{R}) \to V(\mathbb{R})$ sú lineárne zobrazenia vzhľadom na $\alpha_1,


 
         \alpha_2, ..., \alpha_n$. Ďalej nech $M_f$ je matica $f$, $M_g$ je matica $g$. Potom:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item matica lineárneho zobrazenia $f+g$ vzhľadom na  $\alpha_1, ..., \alpha_n$ je


 
                         $M_f + M_g$


 
                 \item matica lineárneho zobrazenia $c \cdot f$ vzhľadom na  $\alpha_1, ..., \alpha_n$ je


 
                         $c \cdot M_f$


 
                 \item matica lineárneho zobrazenia $f \circ g$ vzhľadom na  $\alpha_1, ..., \alpha_n$ je


 
                         $M_f \cdot M_g$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Vlastné čísla} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Vektor $\alpha \in V, \alpha \ne 0$ je \underline{charakteristickým (vlastným)


 
         vektorom} lineárneho zobrazenia $f: V \to V$, ak existuje skalár $c \in F$ s vlastnosťou


 
         $f(\alpha) = c \alpha$.


 
 


 
         Skalár $c$ s touto vlastnosťou nazývame \underline{charakteristickou (vlastnou) hodnotou}


 
         zobrazenia.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Charakteristická hodnota matice $A$} lineárneho zobrazenia je $$A \cdot \alpha = c


 
         \cdot \alpha$$


 
         $A \cdot \alpha = c \cdot \alpha \to A \cdot \alpha = c \cdot I \cdot \alpha


 
         \to (A- c \cdot I) \cdot \alpha = 0 \Leftrightarrow |A - c \cdot I| = 0$


 
 


 
         Determinant matice $A - c \cdot I$ je \underline{charakteristický polynóm}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 
 TODO nieco o ortogonalnych maticiach


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/


 
 









Legend:


Removed from v.1.4
 


changed lines


 
Added in v.1.5


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
-version 1.4, 2005/01/16 14:57:32
+version 1.5, 2005/01/16 16:19:14
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2005-01-15 - created
  %
- % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.3 2005/01/16 09:49:36 nepto Exp $
+ % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.4 2005/01/16 14:57:32 nepto Exp $
  \chapter{Algebra}
 Line 550  TODO nieco o stvorcovych maticiach
 Line 550  TODO nieco o stvorcovych maticiach
 Line 550  TODO nieco o stvorcovych maticiach
  % */
+ \section{Podobnosť matíc} % /*
+ \begin{defn}
+         \underline{Regulárna matica} je každá štvorcová matica stupňa $n$, ktorej hodnosť je~$n$. V
+         opačnom prípade hovoríme o~\underline{singulárnej matici}.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Matice $A$ a $B$ typu $n \times n$ nazývame \underline{podobnými}, ak existuje regulárna matica
+         $P$ typu $n \times n$ taká, že $B = P A P^{-1}$ (ide o reláciu ekvivalencie).
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Nech $\varphi: V(R) \to V(R)$ je lineárne zobrazenie, nech $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$
+         je ľubovoľná báza $V(R)$. Nech $\varphi(\alpha_i) = a_{i1} \alpha_1 + a_{i2} \alpha_2 + ... +
+         a_{in} \alpha_n$ pre $i \in 1..n$. Potom \underline{maticou transformácie} $\varphi$ vzhľadom na
+         bázu $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ nazývame maticu
+         TODO PICTURE
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Nech $A$ je matica lineárneho zobrazenia $\varphi: V(\mathbb{R}) \to V(\mathbb{R})$ vzhľadom na
+         bázu $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$. Nech $X$ je $n$-tica súradníc vektora $\alpha \in
+         V(\mathbb{R})$ vzhľadom na bázu $\alpha_i$. Potom $Y = XA$ je $n$-tica súradníc vektora
+         $\varphi(\alpha)$ vzhľadom na $\alpha_i$
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Nech $A$ je matica lineárneho zobrazenia $\varphi$ vzhľadom na bázu $\alpha_1, \alpha_2, ...,
+         \alpha_n$. Nech $B$ je matica vzhľadom na bázu $\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n$. Nech $P$ je
+         matica prechodu od bázy $\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n$ k báze $\beta_1, \beta_2, ...,
+         \beta_n$. Potom $B = P \cdot A \cdot P^{-1}$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Nech $f, g: V(\mathbb{R}) \to V(\mathbb{R})$ sú lineárne zobrazenia vzhľadom na $\alpha_1,
+         \alpha_2, ..., \alpha_n$. Ďalej nech $M_f$ je matica $f$, $M_g$ je matica $g$. Potom:
+         \begin{enumerate}
+                 \item matica lineárneho zobrazenia $f+g$ vzhľadom na  $\alpha_1, ..., \alpha_n$ je
+                         $M_f + M_g$
+                 \item matica lineárneho zobrazenia $c \cdot f$ vzhľadom na  $\alpha_1, ..., \alpha_n$ je
+                         $c \cdot M_f$
+                 \item matica lineárneho zobrazenia $f \circ g$ vzhľadom na  $\alpha_1, ..., \alpha_n$ je
+                         $M_f \cdot M_g$
+         \end{enumerate}
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Vlastné čísla} % /*
+ \begin{defn}
+         Vektor $\alpha \in V, \alpha \ne 0$ je \underline{charakteristickým (vlastným)
+         vektorom} lineárneho zobrazenia $f: V \to V$, ak existuje skalár $c \in F$ s vlastnosťou
+         $f(\alpha) = c \alpha$.
+         Skalár $c$ s touto vlastnosťou nazývame \underline{charakteristickou (vlastnou) hodnotou}
+         zobrazenia.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Charakteristická hodnota matice $A$} lineárneho zobrazenia je $$A \cdot \alpha = c
+         \cdot \alpha$$
+         $A \cdot \alpha = c \cdot \alpha \to A \cdot \alpha = c \cdot I \cdot \alpha
+         \to (A- c \cdot I) \cdot \alpha = 0 \Leftrightarrow |A - c \cdot I| = 0$
+         Determinant matice $A - c \cdot I$ je \underline{charakteristický polynóm}.
+ \end{defn}
+ % */
+ TODO nieco o ortogonalnych maticiach
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.4
 


changed lines


 
Added in v.1.5
 Legend:


Removed from v.1.4
 


changed lines


 
Added in v.1.5
-Removed from v.1.4
+Added in v.1.5


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top