Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
Diff for doc/statnica-matematika/02-algebra.tex between version 1.5 and 1.6


version 1.5, 2005/01/16 16:19:14
version 1.6, 2005/01/16 20:52:11



Line 10 




Line 10 




 % 2005-01-15 - created
 % 2005-01-15 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.4 2005/01/16 14:57:32 nepto Exp $
 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.5 2005/01/16 16:19:14 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Algebra}
 \chapter{Algebra}


 
 




Line 63  $A \times B = \{ (a, b) ~|~ a \in A, b \




Line 63  $A \times B = \{ (a, b) ~|~ a \in A, b \




 
 


 % */
 % */


 
 


 \section{Grupy} % /*
 \section{Štruktúry} % /*


 
 


 \begin{defn}
 \begin{defn}


 Usporiadaná dvojica $(G, +)$ sa nazýva \underline{grupa}, ak platí:
 Usporiadaná dvojica $(G, +)$ sa nazýva \underline{pologrupa}, ak platí:


 
 


 \begin{enumerate}
 \begin{enumerate}


         \item $G \ne \emptyset$
         \item $G \ne \emptyset$


         \item $+$ je asociatívna binárna operácia na $G$
         \item $+$ je asociatívna binárna operácia na $G$


 
 \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
 Usporiadaná dvojica $(G, +)$ sa nazýva \underline{grupa}, ak platí:


 
 \begin{enumerate}


 
         \item $(G, +)$ je pologrupa


         \item $+$ má neutrálny prvok $e$
         \item $+$ má neutrálny prvok $e$


         \item $\forall x \in G: \exists x' \in G: x + x' = x' + x = e$
         \item $\forall x \in G: \exists x' \in G: x + x' = x' + x = e$


 \end{enumerate}
 \end{enumerate}




Line 624  TODO nieco o stvorcovych maticiach




Line 630  TODO nieco o stvorcovych maticiach




 
 


 TODO nieco o ortogonalnych maticiach
 TODO nieco o ortogonalnych maticiach


 
 


 
 \section{Grupy} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
 Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \underline{grupa}, ak platí:


 
 \begin{enumerate}


 
         \item $G \ne \emptyset$


 
         \item $*$ je asociatívna binárna operácia na $G$


 
         \item $*$ má neutrálny prvok $e$


 
         \item $\forall x \in G: \exists x^{-1} \in G: x * x^{-1} = x^{-1} * x = e$


 
 \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Grupa $(H, *)$ je \underline{podgrupa} grupy $(G, \circ)$, ak platí:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $H \subseteq G$


 
                 \item $\forall a, b \in H: a * b = a \circ b$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Grupa $(G, *)$ sa nazýva \underline{cyklická}, ak existuje prvok $a \in G$ taký, že platí $[a] = G$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         V grupe $(G, *)$ definujeme pre každé $n \in \mathbb{Z}$ a pre $\forall a \in G$


 
         \underline{grupovú mocninu} $a^n$ takto:


 
         \begin{itemize}


 
                 \item $a^0 = e$


 
                 \item $a^n = \underbrace{a * a * \dots * a}_{\textrm{$n$-krát}}$ pre $n > 0$


 
                 \item $a^{-k} = \underbrace{a^{-1} * a^{-1} * \dots * a^{-1}}_{\textrm{$k$-krát}}$ pre $n = -k < 0$


 
         \end{itemize}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $a \in G$. Najmenšie kladné celé číslo $k$ s vlastnosťou $a^k = e$ nazývame \underline{rád


 
         prvku $a$}. Ak také číslo neexsituje, rád prvku je $\infty$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Hovoríme, že grupa $(G, *)$ je \underline{izomorfná} s grupou $(H, \circ)$, ak existuje


 
         \underline{bijekcia} $\varphi: G \to H$, pre ktorú platí: $\varphi(a * b) = \varphi(a) \circ


 
         \varphi(b)$.\\


 
         Zobrazenie $\varphi$ nazývame \underline{izomorfizmus}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}[Cayley]


 
         Každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Každá podgrupa cyklickej grupy je cyklická.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Rozklady na grupách} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Rozkladom množiny $A$} rozumieme taký systém $M$ jej neprázdnych podmnožín, že:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $\bigcup_{M_i \in M} M_i = A$


 
                 \item $M_i, M_j \in M \land M_i \ne M_j \Rightarrow M_i \cap M_j = \emptyset$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $H$ je podgrupa grupy $(G, *)$. Potom ľavou triedou


 
         \underline{$G$ podľa $H$} určenou prvkom $a$


 
         nazývame množinu $a * H = \{ a * h ~|~ h \in H \}$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $H$ je podgrupa $G$. Potom $^G|_H = \{ x H ~|~ x \in G \}$ je rozklad na~$G$, pričom $x H =


 
         \{ x h ~|~ h \in H \}$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Lagrangeova veta]


 
         Nech $G$ je \underline{konečná grupa} a $H$ jej podgrupa. Potom $|H| \bigvert |G|$, tj. počet


 
         prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Homomorfizmus grúp} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Zobrazenie $f: G \to H$, kde $(G, \circ)$ a $(H, *)$ sú grupy, nazývame


 
         \underline{homomorfizmus}, ak $\forall x, y \in G: f(x \circ y) = f(x) * f(y)$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Podgrupa $H$ grupy $G$ sa nazýva \underline{invariantnou (normálnou)} podgrupou, ak $\forall x


 
         \in G: x H = H x$, resp. $\forall x \in G: x^{-1} H x \subseteq H$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Množinu $Z(G) = \{ g \in G ~|~ \forall x \in G: g * x = x * g \}$ nazývame \underline{centrum


 
         grupy} $(G, *)$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Faktorové grupy} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Pre triedy grupy $(G, *)$ podľa jej podgrupy $H$ je \underline{faktorizovaná grupová operácia}


 
         určená vzťahom $(Ha) * (Hb) = H(a * b)$, kde $a, b \in G$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Množina $^G|_H$ všetkých tried grupy $(G, *)$ podľa jej normálnej podgrupy $H$, sa nazýva


 
         \underline{faktorová grupa}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Množina $^G|_H$ tvorí grupu vzhľadom na operáciu násobenia tried po prvkoch $(Ha)(Hb) = Hab$.


 
         \begin{itemize}


 
                 \item ak $G$ je komutatívna, tak aj $^G|_H$ je komutatívna


 
                 \item ak $G$ je cyklická, tak aj $^G|_H$ je cysklická


 
                 \item neutrálny prvok $He = H$


 
                 \item inverzný prvok $(Ha)^{-1} = Ha^{-1}$


 
         \end{itemize}


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Základná veta o homomorfizme grúp]


 
         Nech $f: G \to H$ je surjektívny homomorfizmus. Potom $^G|_{Ker f}$ je izomorfný s~$H$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Grupy permutácií} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Permutáciou} na množine $A$ sa nazývame ľubovoľné bijektívne zobrazenie $f: A \to A$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Cyklickou permutáciou} (alebo cyklom) prvkov $a_1, a_2, ..., a_k$ množiny $X$


 
         nazývame permutáciu $\varphi$, ktorá každý prvok $a_i, i \in \{1, ..., k-1\}$ zobrazí na


 
         $a_{i+1}$ a $a_n$ zobrazí na $a_1$ a ostatné prvky množiny ponechá na mieste (TODO: rephrase,


 
         very strange!).


 
 


 
         Číslo $k$ nazývame \underline{dĺžka cyklu}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Hovoríme, že cykly $(a_1, a_2, ..., a_n)$ a $(b_1, b_2, ..., b_m)$ sú \underline{disjunktné}, ak množiny


 
         $\{a_1, a_2, ..., a_n\}$ a $\{b_1, b_2, ..., b_m\}$ sú disjunktné.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Každá permutácia z $S_n$ rôzna od identickej sa dá napísať v tvare súčinu cyklov dĺžky aspoň


 
         $2$. Ak odhliadneme od poradia cyklov v súčine, tak toto vyjadrenie je jednoznačné.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Rád permutácie, ktorá je súčinom navzájom disjnuktných cyklov je najmenší spoločný násobok ich


 
         dĺžok.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Cykly dĺžky $2$ nazývame \underline{transpozície}. Permutácia sa nazýva \underline{párna}, ak je


 
         súčinom párneho počtu transpozícií. Inak sa permutácia nazýva \underline{nepárna}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Každá permutácia sa dá aspoň jedným spôsobom napísať v tvare súčinu transpozícií.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/


 
 









Legend:


Removed from v.1.5
 


changed lines


 
Added in v.1.6


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
-version 1.5, 2005/01/16 16:19:14
+version 1.6, 2005/01/16 20:52:11
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2005-01-15 - created
  %
- % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.4 2005/01/16 14:57:32 nepto Exp $
+ % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.5 2005/01/16 16:19:14 nepto Exp $
  \chapter{Algebra}
 Line 63  $A \times B = \{ (a, b) ~|~ a \in A, b \
 Line 63  $A \times B = \{ (a, b) ~|~ a \in A, b \
 Line 63  $A \times B = \{ (a, b) ~|~ a \in A, b \
  % */
- \section{Grupy} % /*
+ \section{Štruktúry} % /*
  \begin{defn}
- Usporiadaná dvojica $(G, +)$ sa nazýva \underline{grupa}, ak platí:
+ Usporiadaná dvojica $(G, +)$ sa nazýva \underline{pologrupa}, ak platí:
  \begin{enumerate}
          \item $G \ne \emptyset$
          \item $+$ je asociatívna binárna operácia na $G$
+ \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+ Usporiadaná dvojica $(G, +)$ sa nazýva \underline{grupa}, ak platí:
+ \begin{enumerate}
+         \item $(G, +)$ je pologrupa
          \item $+$ má neutrálny prvok $e$
          \item $\forall x \in G: \exists x' \in G: x + x' = x' + x = e$
  \end{enumerate}
-Line 624  TODO nieco o stvorcovych maticiach
+Line 630  TODO nieco o stvorcovych maticiach
 Line 624  TODO nieco o stvorcovych maticiach
 Line 630  TODO nieco o stvorcovych maticiach
  TODO nieco o ortogonalnych maticiach
+ \section{Grupy} % /*
+ \begin{defn}
+ Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \underline{grupa}, ak platí:
+ \begin{enumerate}
+         \item $G \ne \emptyset$
+         \item $*$ je asociatívna binárna operácia na $G$
+         \item $*$ má neutrálny prvok $e$
+         \item $\forall x \in G: \exists x^{-1} \in G: x * x^{-1} = x^{-1} * x = e$
+ \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Grupa $(H, *)$ je \underline{podgrupa} grupy $(G, \circ)$, ak platí:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $H \subseteq G$
+                 \item $\forall a, b \in H: a * b = a \circ b$
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Grupa $(G, *)$ sa nazýva \underline{cyklická}, ak existuje prvok $a \in G$ taký, že platí $[a] = G$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         V grupe $(G, *)$ definujeme pre každé $n \in \mathbb{Z}$ a pre $\forall a \in G$
+         \underline{grupovú mocninu} $a^n$ takto:
+         \begin{itemize}
+                 \item $a^0 = e$
+                 \item $a^n = \underbrace{a * a * \dots * a}_{\textrm{$n$-krát}}$ pre $n > 0$
+                 \item $a^{-k} = \underbrace{a^{-1} * a^{-1} * \dots * a^{-1}}_{\textrm{$k$-krát}}$ pre $n = -k < 0$
+         \end{itemize}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Nech $a \in G$. Najmenšie kladné celé číslo $k$ s vlastnosťou $a^k = e$ nazývame \underline{rád
+         prvku $a$}. Ak také číslo neexsituje, rád prvku je $\infty$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Hovoríme, že grupa $(G, *)$ je \underline{izomorfná} s grupou $(H, \circ)$, ak existuje
+         \underline{bijekcia} $\varphi: G \to H$, pre ktorú platí: $\varphi(a * b) = \varphi(a) \circ
+         \varphi(b)$.\\
+         Zobrazenie $\varphi$ nazývame \underline{izomorfizmus}.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}[Cayley]
+         Každá grupa je izomorfná s nejakou grupou transformácií.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Každá podgrupa cyklickej grupy je cyklická.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Rozklady na grupách} % /*
+ \begin{defn}
+         \underline{Rozkladom množiny $A$} rozumieme taký systém $M$ jej neprázdnych podmnožín, že:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $\bigcup_{M_i \in M} M_i = A$
+                 \item $M_i, M_j \in M \land M_i \ne M_j \Rightarrow M_i \cap M_j = \emptyset$
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Nech $H$ je podgrupa grupy $(G, *)$. Potom ľavou triedou
+         \underline{$G$ podľa $H$} určenou prvkom $a$
+         nazývame množinu $a * H = \{ a * h ~|~ h \in H \}$.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Nech $H$ je podgrupa $G$. Potom $^G|_H = \{ x H ~|~ x \in G \}$ je rozklad na~$G$, pričom $x H =
+         \{ x h ~|~ h \in H \}$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Lagrangeova veta]
+         Nech $G$ je \underline{konečná grupa} a $H$ jej podgrupa. Potom $|H| \bigvert |G|$, tj. počet
+         prvkov podgrupy delí počet prvkov grupy.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Homomorfizmus grúp} % /*
+ \begin{defn}
+         Zobrazenie $f: G \to H$, kde $(G, \circ)$ a $(H, *)$ sú grupy, nazývame
+         \underline{homomorfizmus}, ak $\forall x, y \in G: f(x \circ y) = f(x) * f(y)$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Podgrupa $H$ grupy $G$ sa nazýva \underline{invariantnou (normálnou)} podgrupou, ak $\forall x
+         \in G: x H = H x$, resp. $\forall x \in G: x^{-1} H x \subseteq H$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Množinu $Z(G) = \{ g \in G ~|~ \forall x \in G: g * x = x * g \}$ nazývame \underline{centrum
+         grupy} $(G, *)$.
+ \end{defn}
+ % */
+ \section{Faktorové grupy} % /*
+ \begin{defn}
+         Pre triedy grupy $(G, *)$ podľa jej podgrupy $H$ je \underline{faktorizovaná grupová operácia}
+         určená vzťahom $(Ha) * (Hb) = H(a * b)$, kde $a, b \in G$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Množina $^G|_H$ všetkých tried grupy $(G, *)$ podľa jej normálnej podgrupy $H$, sa nazýva
+         \underline{faktorová grupa}.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Množina $^G|_H$ tvorí grupu vzhľadom na operáciu násobenia tried po prvkoch $(Ha)(Hb) = Hab$.
+         \begin{itemize}
+                 \item ak $G$ je komutatívna, tak aj $^G|_H$ je komutatívna
+                 \item ak $G$ je cyklická, tak aj $^G|_H$ je cysklická
+                 \item neutrálny prvok $He = H$
+                 \item inverzný prvok $(Ha)^{-1} = Ha^{-1}$
+         \end{itemize}
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Základná veta o homomorfizme grúp]
+         Nech $f: G \to H$ je surjektívny homomorfizmus. Potom $^G|_{Ker f}$ je izomorfný s~$H$.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Grupy permutácií} % /*
+ \begin{defn}
+         \underline{Permutáciou} na množine $A$ sa nazývame ľubovoľné bijektívne zobrazenie $f: A \to A$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Cyklickou permutáciou} (alebo cyklom) prvkov $a_1, a_2, ..., a_k$ množiny $X$
+         nazývame permutáciu $\varphi$, ktorá každý prvok $a_i, i \in \{1, ..., k-1\}$ zobrazí na
+         $a_{i+1}$ a $a_n$ zobrazí na $a_1$ a ostatné prvky množiny ponechá na mieste (TODO: rephrase,
+         very strange!).
+         Číslo $k$ nazývame \underline{dĺžka cyklu}.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Hovoríme, že cykly $(a_1, a_2, ..., a_n)$ a $(b_1, b_2, ..., b_m)$ sú \underline{disjunktné}, ak množiny
+         $\{a_1, a_2, ..., a_n\}$ a $\{b_1, b_2, ..., b_m\}$ sú disjunktné.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Každá permutácia z $S_n$ rôzna od identickej sa dá napísať v tvare súčinu cyklov dĺžky aspoň
+         $2$. Ak odhliadneme od poradia cyklov v súčine, tak toto vyjadrenie je jednoznačné.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Rád permutácie, ktorá je súčinom navzájom disjnuktných cyklov je najmenší spoločný násobok ich
+         dĺžok.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Cykly dĺžky $2$ nazývame \underline{transpozície}. Permutácia sa nazýva \underline{párna}, ak je
+         súčinom párneho počtu transpozícií. Inak sa permutácia nazýva \underline{nepárna}.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Každá permutácia sa dá aspoň jedným spôsobom napísať v tvare súčinu transpozícií.
+ \end{veta}
+ % */
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.5
 


changed lines


 
Added in v.1.6
 Legend:


Removed from v.1.5
 


changed lines


 
Added in v.1.6
-Removed from v.1.5
+Added in v.1.6


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top