Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
Diff for doc/statnica-matematika/02-algebra.tex between version 1.6 and 1.7


version 1.6, 2005/01/16 20:52:11
version 1.7, 2005/01/16 23:18:25



Line 10 




Line 10 




 % 2005-01-15 - created
 % 2005-01-15 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.5 2005/01/16 16:19:14 nepto Exp $
 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.6 2005/01/16 20:52:11 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Algebra}
 \chapter{Algebra}


 
 




Line 802  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \




Line 802  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \




 
 


 % */
 % */


 
 


 
 \section{Okruhy} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Okruhom} rozumieme usporiadanú trojicu $(A, +, \cdot)$, kde


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $(A, +)$ je komutatívna grupa


 
                 \item $\cdot$ je asociatívna binárna operácia distributívna vzhľadom na $+$


 
         \end{enumerate}


 
 


 
         Ak $\cdot$ je komutatívna, tak hovoríme o \underline{komutatívnom okruhu}.\\


 
         Ak $\cdot$ má neutrálny prvok, tak hovoríme o \underline{okruhu s jednotkou}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Okruh $(B, \oplus, \odot)$ je \underline{podokruh} okruhu $(A, +, \cdot)$, ak platí:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $B \subseteq A$


 
                 \item $\forall a, b \in B: a \oplus b = a + b$


 
                 \item $\forall a, b \in B: a \odot b = a \cdot b$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Hovoríme, že okruh $A$ je \underline{izomorfný} s okruhom $A'$, ak existuje bijekcia $\varphi: A


 
         \to A'$ taká, že zachováva sčitovanie a násobenie.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Charakteristikou} okruhu $A$ nazývame najmenšie prirodzené číslo $k > 0$ také, že $k


 
         \times a = 0$ pre $\forall a \in A$, kde $k \times a = \underbrace{a + a + ... +


 
         a}_{\textrm{$k$-krát}}$


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Neprázdna podmnožina $I$ okruhu $A$ sa nazýva \underline{ľavým (pravým) ideálom} okruhu $A$, ak


 
         platí:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $\forall a, b \in I: (a - b) \in I$


 
                 \item $\forall a \in I, r \in A: r \cdot a \in I$ resp.  $a \cdot r \in I$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Homomorfizmus} okruhu $(A, +, \cdot)$ do okruhu $(B, \oplus, \odot)$ je každé


 
         zobrazenie $f: A \to B$, o ktorom platí:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $\forall a, b \in A: f(a + b) = f(a) \oplus f(b)$


 
                 \item $\forall a, b \in A: f(a \cdot b) = f(a) \odot f(b)$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ak $f, g: A \to B$ sú homomorfizmy, tak aj $f + g$ je homomorfizmus.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ak $f, g: A \to B$ sú homomorfizmy, tak aj $f \cdot g$ je homomorfizmus.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ak $I$ je ideál okruhu $A$, tak množina $^A|_I$ všetkých tried aktívnej grupy $A$ podľa podgrupy


 
         $I$ s operáciami $\forall a,b \in A$:


 
         $$(a+I) + (b+I) = (a+b) + I$$ $$(a+I) (b+I) = ab + I$$


 
         tvorí okruh, ktorý nazývame \underline{faktorový okruh}.


 
 


 
         Ak $A$ je komutatívny, tak aj $^A|_I$ je komutatívny.\\


 
         Ak $A$ je s jednotkou, tak aj $^A|_I$ je s jednotkou.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Hovoríme, že ideál $I$ okruhu $A$ je \underline{prvoideálom}, ak pre $\forall a, b \in A: a


 
         \cdot b \in I \Rightarrow a \in I \lor b \in I$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Hovoríme, že ideál $I$ okruhu $A$ je \underline{maximálny}, ak $I \ne A$ a zároveň $\forall$


 
         ideály $J: I \subseteq J \subseteq A \Rightarrow I = J \lor A = J$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Faktorový okruh $^A|_I$ komutatívneho okruhu s jednotkou je obor integrity $\Leftrightarrow$ keď


 
         $I$ je prvoideál.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Faktorový okruh $^A|_I$ komutatívneho okruhu s jednotkou je pole $\Leftrightarrow$ keď


 
         $I$ je maximálny ideál.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Okruh $A$ nazývame \underline{oborom integrity} ak má aspoň 2 prvky a pre $\forall a, b \in A, a


 
         \ne 0, b \ne 0$ platí $a \cdot b \ne 0$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Hovoríme, že okruh $A$ je \underline{teleso}, ak má aspoň 2 prvky a $\forall a \in A, a \ne 0:


 
         \exists a' \in A: a \cdot a' = a' \cdot a = 1$


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Komutatívne teleso nazývame \underline{pole}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $A$ je obor integrity. Potom v $A$ platia tzv. obmedzené pravidlá o krátení,


 
         $\forall a, b, c \in A, a \ne 0:$


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $ab = ac \Rightarrow b = c$


 
                 \item $ba = ca \Rightarrow b = c$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Zlomkom} nad oborom integrity $D$ nazývame usporiadanú dvojicu $(a, b)$, kde $a, b


 
         \in D, b \ne 0$.


 
 


 
         Dva zlomky nazývame \underline{ekvivalentnými} ($(a, b) \equiv (a', b')$) $\Leftrightarrow ab' =


 
         a'b$.


 
 


 
         \underline{Súčet} zlomkov definujeme $(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)$.\\


 
         \underline{Súčin} zlomkov definujeme $(a, b) (c, d) = (ac, bd)$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Podielové pole} $Q(D)$ oboru integrity $D$ je množina všetkých tried ekvivalencie


 
         $[(a, b)]$ zlomkov nad $D$. Súčet a súčin tried sú definované nasledovne:


 
         $$[(a, b)] + [(c, d)] = [(a, b) + (c, d)]$$


 
         $$[(a, b)] [(c, d)] = [(a, b) (c, d)]$$


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/









Legend:


Removed from v.1.6
 


changed lines


 
Added in v.1.7


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
-version 1.6, 2005/01/16 20:52:11
+version 1.7, 2005/01/16 23:18:25
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2005-01-15 - created
  %
- % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.5 2005/01/16 16:19:14 nepto Exp $
+ % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.6 2005/01/16 20:52:11 nepto Exp $
  \chapter{Algebra}
 Line 802  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 Line 802  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 Line 802  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
  % */
+ \section{Okruhy} % /*
+ \begin{defn}
+         \underline{Okruhom} rozumieme usporiadanú trojicu $(A, +, \cdot)$, kde
+         \begin{enumerate}
+                 \item $(A, +)$ je komutatívna grupa
+                 \item $\cdot$ je asociatívna binárna operácia distributívna vzhľadom na $+$
+         \end{enumerate}
+         Ak $\cdot$ je komutatívna, tak hovoríme o \underline{komutatívnom okruhu}.\\
+         Ak $\cdot$ má neutrálny prvok, tak hovoríme o \underline{okruhu s jednotkou}.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Okruh $(B, \oplus, \odot)$ je \underline{podokruh} okruhu $(A, +, \cdot)$, ak platí:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $B \subseteq A$
+                 \item $\forall a, b \in B: a \oplus b = a + b$
+                 \item $\forall a, b \in B: a \odot b = a \cdot b$
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Hovoríme, že okruh $A$ je \underline{izomorfný} s okruhom $A'$, ak existuje bijekcia $\varphi: A
+         \to A'$ taká, že zachováva sčitovanie a násobenie.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Charakteristikou} okruhu $A$ nazývame najmenšie prirodzené číslo $k > 0$ také, že $k
+         \times a = 0$ pre $\forall a \in A$, kde $k \times a = \underbrace{a + a + ... +
+         a}_{\textrm{$k$-krát}}$
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Neprázdna podmnožina $I$ okruhu $A$ sa nazýva \underline{ľavým (pravým) ideálom} okruhu $A$, ak
+         platí:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $\forall a, b \in I: (a - b) \in I$
+                 \item $\forall a \in I, r \in A: r \cdot a \in I$ resp.  $a \cdot r \in I$
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Homomorfizmus} okruhu $(A, +, \cdot)$ do okruhu $(B, \oplus, \odot)$ je každé
+         zobrazenie $f: A \to B$, o ktorom platí:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $\forall a, b \in A: f(a + b) = f(a) \oplus f(b)$
+                 \item $\forall a, b \in A: f(a \cdot b) = f(a) \odot f(b)$
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Ak $f, g: A \to B$ sú homomorfizmy, tak aj $f + g$ je homomorfizmus.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Ak $f, g: A \to B$ sú homomorfizmy, tak aj $f \cdot g$ je homomorfizmus.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Ak $I$ je ideál okruhu $A$, tak množina $^A|_I$ všetkých tried aktívnej grupy $A$ podľa podgrupy
+         $I$ s operáciami $\forall a,b \in A$:
+         $$(a+I) + (b+I) = (a+b) + I$$ $$(a+I) (b+I) = ab + I$$
+         tvorí okruh, ktorý nazývame \underline{faktorový okruh}.
+         Ak $A$ je komutatívny, tak aj $^A|_I$ je komutatívny.\\
+         Ak $A$ je s jednotkou, tak aj $^A|_I$ je s jednotkou.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Hovoríme, že ideál $I$ okruhu $A$ je \underline{prvoideálom}, ak pre $\forall a, b \in A: a
+         \cdot b \in I \Rightarrow a \in I \lor b \in I$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Hovoríme, že ideál $I$ okruhu $A$ je \underline{maximálny}, ak $I \ne A$ a zároveň $\forall$
+         ideály $J: I \subseteq J \subseteq A \Rightarrow I = J \lor A = J$.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Faktorový okruh $^A|_I$ komutatívneho okruhu s jednotkou je obor integrity $\Leftrightarrow$ keď
+         $I$ je prvoideál.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Faktorový okruh $^A|_I$ komutatívneho okruhu s jednotkou je pole $\Leftrightarrow$ keď
+         $I$ je maximálny ideál.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Okruh $A$ nazývame \underline{oborom integrity} ak má aspoň 2 prvky a pre $\forall a, b \in A, a
+         \ne 0, b \ne 0$ platí $a \cdot b \ne 0$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Hovoríme, že okruh $A$ je \underline{teleso}, ak má aspoň 2 prvky a $\forall a \in A, a \ne 0:
+         \exists a' \in A: a \cdot a' = a' \cdot a = 1$
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Komutatívne teleso nazývame \underline{pole}.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Nech $A$ je obor integrity. Potom v $A$ platia tzv. obmedzené pravidlá o krátení,
+         $\forall a, b, c \in A, a \ne 0:$
+         \begin{enumerate}
+                 \item $ab = ac \Rightarrow b = c$
+                 \item $ba = ca \Rightarrow b = c$
+         \end{enumerate}
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         \underline{Zlomkom} nad oborom integrity $D$ nazývame usporiadanú dvojicu $(a, b)$, kde $a, b
+         \in D, b \ne 0$.
+         Dva zlomky nazývame \underline{ekvivalentnými} ($(a, b) \equiv (a', b')$) $\Leftrightarrow ab' =
+         a'b$.
+         \underline{Súčet} zlomkov definujeme $(a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd)$.\\
+         \underline{Súčin} zlomkov definujeme $(a, b) (c, d) = (ac, bd)$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Podielové pole} $Q(D)$ oboru integrity $D$ je množina všetkých tried ekvivalencie
+         $[(a, b)]$ zlomkov nad $D$. Súčet a súčin tried sú definované nasledovne:
+         $$[(a, b)] + [(c, d)] = [(a, b) + (c, d)]$$
+         $$[(a, b)] [(c, d)] = [(a, b) (c, d)]$$
+ \end{defn}
+ % */
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.6
 


changed lines


 
Added in v.1.7
 Legend:


Removed from v.1.6
 


changed lines


 
Added in v.1.7
-Removed from v.1.6
+Added in v.1.7


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top