Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
Diff for doc/statnica-matematika/02-algebra.tex between version 1.7 and 1.8


version 1.7, 2005/01/16 23:18:25
version 1.8, 2005/01/18 16:19:57



Line 10 




Line 10 




 % 2005-01-15 - created
 % 2005-01-15 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.6 2005/01/16 20:52:11 nepto Exp $
 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.7 2005/01/16 23:18:25 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Algebra}
 \chapter{Algebra}


 
 




Line 934  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \




Line 934  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \




 
 


 % */
 % */


 
 


 
 \section{Okruhy hlavných ideálov} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Hovoríme, že $x \in A$ \underline{generuje ideál $I$} komutatívneho okruhu $A$ s jednotkou, ak


 
         $I = xA = \{ xa ~|~ x \in A \}$.


 
 


 
         Ideál $I$ generovaný nejakým $x \in A$ nazývame \underline{hlavný}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Komutatívny okruh $A$ s jednotkou nazývame \underline{okruh hlavných ideálov}, ak každý ideál v


 
         $A$ je hlavný.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $A$ je komutatívny okruh. Hovoríme, že \underline{$a$ delí $b$}, $a|b$, ak $\exists c: b


 
         = c \dot a, a, b, c \in A$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $A$ je komutatívny okruh s jednotkou. Hovoríme, že $d \in A$ je najväčším spoločným


 
         deliteľom prvkov $a, b \in A$, ak platí:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $d|a \land d|b$


 
                 \item $c|a \land c|b$, tak $c|d$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Každé dva prvky z okruhu hlavných ideálov majú najväčšieho spoločného deliteľa.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Prvok $p$ z okruhu hlavných ideálov $A$ nazývame \underline{ireducibilným} prvkom, ak $p$ má iba


 
         \underline{nevlastných} deliteľov, tj. delia ho iba delitele jednotky a prvky s ním


 
         \underline{asociované}.


 
 


 
         Asociované prvky sú $\forall a, b: a|b \land b|a$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Každý prvok $a \in A$, $A$ je okruh hlavných ideálov, $a$ nie je deliteľ~$1$, sa dá napísať


 
         jediným spôsobom v tvare: $$a = a_0 p_1 p_2 ... p_n$$ kde $p_i$ sú ireducibilné prvky z $A$ (až


 
         na poradie a asociovanosť) a $a_0$ je deliteľ~$1$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Vlastnosti deliteľnosti] ~


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item \underline{tranzitívnosť}: $a|b \land b|c \Rightarrow a|c$


 
                 \item \underline{všetky prvky delia $0$}:


 
                         \begin{enumerate}


 
                                 \item $0|0$ pretože $0 = 0 \cdot 0$


 
                                 \item $a|0$ pretože $0 = a \cdot 0$


 
                         \end{enumerate}


 
         \end{enumerate}


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $A$ je podokruh $B$. Prvok $n \in B$ je \underline{algebraický nad $A$}, ak existujú $a_0,


 
         a_1, ..., a_n \in A$ tak, že $$a_0 + a_1 n + a_2 n^2 + ... + a_n n^n = 0$$


 
         pričom aspoň jedno $a_i \ne 0$.


 
 


 
         V opačnom prípade $n$ voláme \underline{transcendentný}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Okruhy polynómov} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $B$ je komutatívny okruh s jednotkou, nech $A$ je podokruh $B$, pričom $1 \in A$. Nech


 
         ďalej $x \in B$. Hovoríme, že okruh $A[x]$ je \underline{okruh polynómov v neurčitej $x$} nad


 
         okruhom $A$, ak pre ľubovoľné $f(x), g(x) \in A[x]$ platí $f(x) = g(x) \Leftrightarrow$


 
         postupnosti ich koeficientov sa rovnajú.


 
 


 
         (TODO: co to znamena)


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ku každému komutatívnemu okruhu $A$ s jednotkou existuje okruh polynómov $A[x]$, ktorý je určený


 
         jednoznačne až na izomorfizmus.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $f(x), g(x) \in F[x]$, $F$ je pole. Hovoríme, že \underline{$f(x)$ delí $g(x)$}, ak


 
         existuje $h(x) \in F[x]: g(x) = f(x) \cdot h(x)$, kde $\{a_n\} \cdot \{b_n\} = c_n, c_n =


 
         \sum_{i+j=n} a_i b_j$.


 
 


 
         Ak $f(x)|g(x)$ a $g(x)|f(x)$ hovoríme o \underline{asociovaných polynómoch}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}[O delení so zvyškom]


 
         Nech $f(x), g(x) \in F[x], g(x) \ne 0$. Potom $\exists q(x), r(x) \in F[x]: f(x) = g(x) \cdot


 
         q(x) + r(x), st~r(x) < st~g(x)$ a $q(x), r(x)$ sú jednoznačne určené.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $f_1(x), ..., f_k(x) \in F[x]$. Potom $d(x) \in F[x]$ nazveme \underline{najväčším


 
         spoločným deliteľom} $f_1(x), ..., f_k(x)$, ak


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $d(x)|f_i(x) \forall i$


 
                 \item $h(x)|f_i(x) \forall i \Rightarrow h(x)|d(x)$ ($h(x) \in F[x]$)


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         V okruhu polynómov $F[x]$ majú každé dva polynómy najväčší spoločný deliteľ, ktorý je určený


 
         jednoznačne až na multiplikatívnu konštantu a dá sa vypočítať pomocou Euklidovho algoritmu.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Polynómy $f_1(x), ..., f_k(x) \in F[x]$ nazveme \underline{nesúdeliteľnými} ak $NSD(f_1(x), ...,


 
         f_k(x)) = 1$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         $f(x), g(x), h(x) \in F[x]$


 
         \begin{itemize}


 
                 \item $f(x)|g(x) \cdot h(x) \land NSD(f(x), g(x)) = 1 \Rightarrow f(x)|h(x)$


 
                 \item $f(x)|h(x) \land g(x)|h(x) \land NSD(f(x), g(x)) = 1 \Rightarrow f(x)g(x)|h(x)$


 
         \end{itemize}


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $f(x), g(x) \in F[x]$. Potom $g(x)$ je \underline{triviálny deliteľ} $f(x)$, ak $st~g(x) =


 
         0$ alebo $f(x) \sim g(x)$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $f(x) \in F[x], st~f(x) \ge 1$. Potom $f(x)$ naźyvame \underline{ireducibilným v $F[x]$},


 
         ak $f(x)$ má v $F[x]$ iba triviálne delitele.


 
 


 
         V opačnom prípade hovoríme o \underline{reducibilnom} polynóme.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}[Rozklad na súčin ireducibilných polynómov]


 
         Nech polynóm $f(x) = a_0 + ... + a_n x^n, f(x) \in F[x], a_n \ne 0, n \ge 1$. Potom $\exists p_1(x),


 
         ..., p_m(x) \in F[x], p_i(x)$ je ireducibilný, také, že platí $$f(x) = a_n p_1(x) ... p_m(x)$$


 
         pričom rozklad je určený jednoznačne až na poradie.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % polynomy dokoncenie


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $F$ je podpole poľa $F'$. Nech $f(x) \in F[x]$. Potom prvok $c \in F'$ nazveme


 
         \underline{koreňom polynómu} $f(x)$ v poli $F'$, ak platí $$f(c) = a_0 + a_1 c + ... + a_n c^n =


 
         0$$


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $F$ je nadpole $F'$, nech $f(x) \in F[x]$. Potom $c \in F'$ je koreň $f(x) \Leftrightarrow


 
         (x-c)|f(x)$ v $F'[x]$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $F$ je podpole $F'$. Potom $c \in F'$ voláme \underline{$k$-násobným koreňom} $f(x) \in


 
         F[x]$, ak $(x - c)^k|f(x)$ a $(x-c)^{k+1}$ nedelí $f(x)$ v $F'[x]$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Pole $F$ sa nazýva \underline{algebraicky uzavreté}, ak každý polynóm $f(x) \in F[x], st~f(x)


 
         \ge 1$ má v poli $F$ aspoň jeden koreň.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}[Steinitzova veta]


 
         Ku každému poľu $F$ existuje algebraicky uzavreté nadpole $F'$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Gaussova veta / Základná veta algebry]


 
         Pole komplexných čísiel $\mathbb{C}$ je algebraicky uzavreté.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $f(x) \in F[x], st~f(x) \in \{2, 3\}$. Potom $f(x)$ je ireducibilný nad $F \Leftrightarrow


 
         f(x)$ nemá korene v $F$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $F$ je pole. Potom $F[x]$ je okruh hlavných ideálov.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Nech $F$ je pole, nech $f(x) = a_0 + ... + a_n x^n \in F[x]$. Polynóm $D f(x) = a_1 + 2 a_2 x +


 
         ... + n a_n x^{n-1} \in F[x]$ nazývame \underline{formálnou deriváciou polynómu $f(x)$}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $f(x), g(x) \in F[x]$. Potom


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $D(f(x) + g(x)) = Df(x) + Dg(x)$


 
                 \item $D(f(x) \cdot g(x)) = (Df(x)) \cdot g(x) + f(x) \cdot (Dg(x))$


 
         \end{enumerate}


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $f(x) \in F[x], st~f(x) \ge 1$. Potom $f(x)$ má v nejakom nadpoli $F$ aspoň jeden


 
         viacnásobný koreň $\Leftrightarrow st~NSD(f(x), Df(x)) \ge 1$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $f(x) = a_0 + ... + a_n x^n, n \ge 1, f(x) \in F[x]$. Ďalej nech $c \in F$. Potom existujú


 
         jednoznačne určené prvky $b_0, b_1, ..., b_n \in F$ také, že $$f(x) = b_0 + b_1 (x - c) + ... +


 
         b_n (x - c)^n$$


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/


 
 









Legend:


Removed from v.1.7
 


changed lines


 
Added in v.1.8


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
-version 1.7, 2005/01/16 23:18:25
+version 1.8, 2005/01/18 16:19:57
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2005-01-15 - created
  %
- % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.6 2005/01/16 20:52:11 nepto Exp $
+ % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.7 2005/01/16 23:18:25 nepto Exp $
  \chapter{Algebra}
 Line 934  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 Line 934  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 Line 934  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
  % */
+ \section{Okruhy hlavných ideálov} % /*
+ \begin{defn}
+         Hovoríme, že $x \in A$ \underline{generuje ideál $I$} komutatívneho okruhu $A$ s jednotkou, ak
+         $I = xA = \{ xa ~|~ x \in A \}$.
+         Ideál $I$ generovaný nejakým $x \in A$ nazývame \underline{hlavný}.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Komutatívny okruh $A$ s jednotkou nazývame \underline{okruh hlavných ideálov}, ak každý ideál v
+         $A$ je hlavný.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Nech $A$ je komutatívny okruh. Hovoríme, že \underline{$a$ delí $b$}, $a|b$, ak $\exists c: b
+         = c \dot a, a, b, c \in A$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Nech $A$ je komutatívny okruh s jednotkou. Hovoríme, že $d \in A$ je najväčším spoločným
+         deliteľom prvkov $a, b \in A$, ak platí:
+         \begin{enumerate}
+                 \item $d|a \land d|b$
+                 \item $c|a \land c|b$, tak $c|d$
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Každé dva prvky z okruhu hlavných ideálov majú najväčšieho spoločného deliteľa.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Prvok $p$ z okruhu hlavných ideálov $A$ nazývame \underline{ireducibilným} prvkom, ak $p$ má iba
+         \underline{nevlastných} deliteľov, tj. delia ho iba delitele jednotky a prvky s ním
+         \underline{asociované}.
+         Asociované prvky sú $\forall a, b: a|b \land b|a$.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Každý prvok $a \in A$, $A$ je okruh hlavných ideálov, $a$ nie je deliteľ~$1$, sa dá napísať
+         jediným spôsobom v tvare: $$a = a_0 p_1 p_2 ... p_n$$ kde $p_i$ sú ireducibilné prvky z $A$ (až
+         na poradie a asociovanosť) a $a_0$ je deliteľ~$1$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Vlastnosti deliteľnosti] ~
+         \begin{enumerate}
+                 \item \underline{tranzitívnosť}: $a|b \land b|c \Rightarrow a|c$
+                 \item \underline{všetky prvky delia $0$}:
+                         \begin{enumerate}
+                                 \item $0|0$ pretože $0 = 0 \cdot 0$
+                                 \item $a|0$ pretože $0 = a \cdot 0$
+                         \end{enumerate}
+         \end{enumerate}
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Nech $A$ je podokruh $B$. Prvok $n \in B$ je \underline{algebraický nad $A$}, ak existujú $a_0,
+         a_1, ..., a_n \in A$ tak, že $$a_0 + a_1 n + a_2 n^2 + ... + a_n n^n = 0$$
+         pričom aspoň jedno $a_i \ne 0$.
+         V opačnom prípade $n$ voláme \underline{transcendentný}.
+ \end{defn}
+ % */
+ \section{Okruhy polynómov} % /*
+ \begin{defn}
+         Nech $B$ je komutatívny okruh s jednotkou, nech $A$ je podokruh $B$, pričom $1 \in A$. Nech
+         ďalej $x \in B$. Hovoríme, že okruh $A[x]$ je \underline{okruh polynómov v neurčitej $x$} nad
+         okruhom $A$, ak pre ľubovoľné $f(x), g(x) \in A[x]$ platí $f(x) = g(x) \Leftrightarrow$
+         postupnosti ich koeficientov sa rovnajú.
+         (TODO: co to znamena)
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Ku každému komutatívnemu okruhu $A$ s jednotkou existuje okruh polynómov $A[x]$, ktorý je určený
+         jednoznačne až na izomorfizmus.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Nech $f(x), g(x) \in F[x]$, $F$ je pole. Hovoríme, že \underline{$f(x)$ delí $g(x)$}, ak
+         existuje $h(x) \in F[x]: g(x) = f(x) \cdot h(x)$, kde $\{a_n\} \cdot \{b_n\} = c_n, c_n =
+         \sum_{i+j=n} a_i b_j$.
+         Ak $f(x)|g(x)$ a $g(x)|f(x)$ hovoríme o \underline{asociovaných polynómoch}.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}[O delení so zvyškom]
+         Nech $f(x), g(x) \in F[x], g(x) \ne 0$. Potom $\exists q(x), r(x) \in F[x]: f(x) = g(x) \cdot
+         q(x) + r(x), st~r(x) < st~g(x)$ a $q(x), r(x)$ sú jednoznačne určené.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Nech $f_1(x), ..., f_k(x) \in F[x]$. Potom $d(x) \in F[x]$ nazveme \underline{najväčším
+         spoločným deliteľom} $f_1(x), ..., f_k(x)$, ak
+         \begin{enumerate}
+                 \item $d(x)|f_i(x) \forall i$
+                 \item $h(x)|f_i(x) \forall i \Rightarrow h(x)|d(x)$ ($h(x) \in F[x]$)
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         V okruhu polynómov $F[x]$ majú každé dva polynómy najväčší spoločný deliteľ, ktorý je určený
+         jednoznačne až na multiplikatívnu konštantu a dá sa vypočítať pomocou Euklidovho algoritmu.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Polynómy $f_1(x), ..., f_k(x) \in F[x]$ nazveme \underline{nesúdeliteľnými} ak $NSD(f_1(x), ...,
+         f_k(x)) = 1$.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         $f(x), g(x), h(x) \in F[x]$
+         \begin{itemize}
+                 \item $f(x)|g(x) \cdot h(x) \land NSD(f(x), g(x)) = 1 \Rightarrow f(x)|h(x)$
+                 \item $f(x)|h(x) \land g(x)|h(x) \land NSD(f(x), g(x)) = 1 \Rightarrow f(x)g(x)|h(x)$
+         \end{itemize}
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Nech $f(x), g(x) \in F[x]$. Potom $g(x)$ je \underline{triviálny deliteľ} $f(x)$, ak $st~g(x) =
+$ alebo $f(x) \sim g(x)$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Nech $f(x) \in F[x], st~f(x) \ge 1$. Potom $f(x)$ naźyvame \underline{ireducibilným v $F[x]$},
+         ak $f(x)$ má v $F[x]$ iba triviálne delitele.
+         V opačnom prípade hovoríme o \underline{reducibilnom} polynóme.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}[Rozklad na súčin ireducibilných polynómov]
+         Nech polynóm $f(x) = a_0 + ... + a_n x^n, f(x) \in F[x], a_n \ne 0, n \ge 1$. Potom $\exists p_1(x),
+         ..., p_m(x) \in F[x], p_i(x)$ je ireducibilný, také, že platí $$f(x) = a_n p_1(x) ... p_m(x)$$
+         pričom rozklad je určený jednoznačne až na poradie.
+ \end{veta}
+ % polynomy dokoncenie
+ \begin{defn}
+         Nech $F$ je podpole poľa $F'$. Nech $f(x) \in F[x]$. Potom prvok $c \in F'$ nazveme
+         \underline{koreňom polynómu} $f(x)$ v poli $F'$, ak platí $$f(c) = a_0 + a_1 c + ... + a_n c^n =
+$$
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Nech $F$ je nadpole $F'$, nech $f(x) \in F[x]$. Potom $c \in F'$ je koreň $f(x) \Leftrightarrow
+         (x-c)|f(x)$ v $F'[x]$.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Nech $F$ je podpole $F'$. Potom $c \in F'$ voláme \underline{$k$-násobným koreňom} $f(x) \in
+         F[x]$, ak $(x - c)^k|f(x)$ a $(x-c)^{k+1}$ nedelí $f(x)$ v $F'[x]$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Pole $F$ sa nazýva \underline{algebraicky uzavreté}, ak každý polynóm $f(x) \in F[x], st~f(x)
+         \ge 1$ má v poli $F$ aspoň jeden koreň.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}[Steinitzova veta]
+         Ku každému poľu $F$ existuje algebraicky uzavreté nadpole $F'$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Gaussova veta / Základná veta algebry]
+         Pole komplexných čísiel $\mathbb{C}$ je algebraicky uzavreté.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Nech $f(x) \in F[x], st~f(x) \in \{2, 3\}$. Potom $f(x)$ je ireducibilný nad $F \Leftrightarrow
+         f(x)$ nemá korene v $F$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Nech $F$ je pole. Potom $F[x]$ je okruh hlavných ideálov.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Nech $F$ je pole, nech $f(x) = a_0 + ... + a_n x^n \in F[x]$. Polynóm $D f(x) = a_1 + 2 a_2 x +
+         ... + n a_n x^{n-1} \in F[x]$ nazývame \underline{formálnou deriváciou polynómu $f(x)$}.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Nech $f(x), g(x) \in F[x]$. Potom
+         \begin{enumerate}
+                 \item $D(f(x) + g(x)) = Df(x) + Dg(x)$
+                 \item $D(f(x) \cdot g(x)) = (Df(x)) \cdot g(x) + f(x) \cdot (Dg(x))$
+         \end{enumerate}
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Nech $f(x) \in F[x], st~f(x) \ge 1$. Potom $f(x)$ má v nejakom nadpoli $F$ aspoň jeden
+         viacnásobný koreň $\Leftrightarrow st~NSD(f(x), Df(x)) \ge 1$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Nech $f(x) = a_0 + ... + a_n x^n, n \ge 1, f(x) \in F[x]$. Ďalej nech $c \in F$. Potom existujú
+         jednoznačne určené prvky $b_0, b_1, ..., b_n \in F$ také, že $$f(x) = b_0 + b_1 (x - c) + ... +
+         b_n (x - c)^n$$
+ \end{veta}
+ % */
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.7
 


changed lines


 
Added in v.1.8
 Legend:


Removed from v.1.7
 


changed lines


 
Added in v.1.8
-Removed from v.1.7
+Added in v.1.8


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top