Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
Diff for doc/statnica-matematika/02-algebra.tex between version 1.8 and 1.9


version 1.8, 2005/01/18 16:19:57
version 1.9, 2005/01/18 18:18:42



Line 10 




Line 10 




 % 2005-01-15 - created
 % 2005-01-15 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.7 2005/01/16 23:18:25 nepto Exp $
 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.8 2005/01/18 16:19:57 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Algebra}
 \chapter{Algebra}


 
 




Line 1140  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \




Line 1140  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \




 \end{veta}
 \end{veta}


 
 


 % */
 % */


 
 


 
 \section{Rozšírenia polí} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Pole $L$ nazývame \underline{jednoduchým algebraickým rozšírením poľa} $F, F \subseteq L$, ak


 
         existuje prvok $u \in L$ algebraický nad $F$ taký, že pole $L = F(u)$ je generované množinou $F


 
         \cup \{u\}$.


 
 


 
         Ak $u$ je transcendentný nad $F$, hovoríme o \underline{jednoduchom transcendentnom rozšírení}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Jednoduché transcendenté rozšírenie $F(u)$ poľa $F$ je izomorfné s podielovým poľom $Q(F[x])$


 
         okruhu $F[x]$ (polynómov $1$ neurčitej nad $F$).


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Minimálnym polynómom} prvku $u$ algebraického nad $F$ nazývame normovaný polynóm $p


 
         \in F[x]$, ktorý je generátorom ideálu $\{ f \in F[x] ~|~ f(u) = c\}$ ($\forall f \in F[x]$ teda


 
         platí $f(u) = c \Leftrightarrow p|f$).


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ak \underline{$p$ je minimálny} polynóm prvku $u$ algebraického nad poľom $F$, tak


 
         \underline{$p$ je ireducibilný} nad $F$.


 
 


 
         Jednoduché algebraické rozšírenie $F(u)$ sa potom rovná okruhu $F[u] = \{f(u) ~|~ t \in F[x]\}$


 
         (TODO: check this), ktorý je izomorfný s faktorovým okruhom.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Stupňom} algebraického prvku $u$ nad poľom $F$ nazývame stupeň $n$ jeho minimálneho


 
         polynómu nad $F$. Stupeň $n$ nad $F$ označujeme $n = [u:F]$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Hovoríme, že pole $F'$ je \underline{konečným (nekonečným) rozšírením} poľa $F$, ak $F'$ je


 
         konečnorozmerným (nekonečnorozmerným) vektorovým priestorom nad $F$.


 
 


 
         \underline{Stupeň rozšírenia} je $[F':F] := dim~F'~nad~F$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $F'$ je konečné rozšírenie $F$, $F''$ je konečné rozšírenie $F'$. Potom $F''$ je konečné


 
         rozšírenie $F$ a platí: $$[F'':F] = [F'':F'] \cdot [F':F]$$


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Pole $F'$ nazývame \underline{$k$-násobným algebraickým rozšírením} poľa $F$, ak existujú prvky


 
         $u_1, u_2, ..., u_k \in F'$ a postupnosť jednotlivých algebraických rozšírení


 
         $$F_1 = F(u_1), F_2 = F_1(u_2), ..., F_k = F_{k-1}(u_k) = F'$$


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ak $u$ je algebraický nad $F$, tak rozšírenie $F(u)$ je konečné nad $F$ a platí $[F(u):F] =


 
         [u:F]$.


 
 


 
         Opačne, ak $F'$ je konečné rozšírenie nad $F$, tak každý prvok $u \in F'$ je algebraický nad $F$


 
         a platí $[u:F] \le [F':F]$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Konečné polia} % /*


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $[F':F] = n$ a $|F| = q$. Potom $|F'| = q^n$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ak $F$ je konečné pole charakteristiky $p$, tak existuje $m \in \mathbb{N}$ také, že $|F| =


 
         p^n$ (pritom platí, že charakteristika ľubovoľného poľa je prvočíslo alebo $0$).


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Každý prvok z poľa $F$, pričom $|F| = q$, je koreňom polynómu $x^p - x \in F[x]$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Pole $F' \supset F$ nazývame \underline{rozkladovým poľom} polynómu $f(x) \in F[x]$, ak je


 
         najmenším poľom, nad ktorým sa dá polynóm $f(x)$ napísať v tvare súčinu lineárnych činiteľov.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ak $p$ je ireducibilný polynóm nad poľom $F$, tak existuje jednoduché algebraické rozšírenie


 
         $F(u)$ generované koreňom polynómu $p$ (napr. $F[x]/p(x)$).


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Pre každý polynóm $f$ nad poľom $F, st~f > 0$, existuje rozkladové pole $f$ nad $F$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Ak $L, L'$ sú rozkladové polia polynómu $f$ nad $F$, tak $L$ je izomorfné s $L'$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Pre každé číslo tvaru $q = p^n$, kde $p$ je prvočíslo, $n \in \mathbb{N}, n > 0$, existuje


 
         (okrem izomorfizmu) práve jedno $q$-prvkové pole. Je to rozkladové pole polynómu $x^q - x$ nad


 
         $\mathbb{Z}_p$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Každé dve končné polia s rovnakým počtom prvkov sú izomorfné.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/









Legend:


Removed from v.1.8
 


changed lines


 
Added in v.1.9


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
-version 1.8, 2005/01/18 16:19:57
+version 1.9, 2005/01/18 18:18:42
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2005-01-15 - created
  %
- % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.7 2005/01/16 23:18:25 nepto Exp $
+ % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.8 2005/01/18 16:19:57 nepto Exp $
  \chapter{Algebra}
 Line 1140  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 Line 1140  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 Line 1140  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
  \end{veta}
  % */
+ \section{Rozšírenia polí} % /*
+ \begin{defn}
+         Pole $L$ nazývame \underline{jednoduchým algebraickým rozšírením poľa} $F, F \subseteq L$, ak
+         existuje prvok $u \in L$ algebraický nad $F$ taký, že pole $L = F(u)$ je generované množinou $F
+         \cup \{u\}$.
+         Ak $u$ je transcendentný nad $F$, hovoríme o \underline{jednoduchom transcendentnom rozšírení}.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Jednoduché transcendenté rozšírenie $F(u)$ poľa $F$ je izomorfné s podielovým poľom $Q(F[x])$
+         okruhu $F[x]$ (polynómov $1$ neurčitej nad $F$).
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         \underline{Minimálnym polynómom} prvku $u$ algebraického nad $F$ nazývame normovaný polynóm $p
+         \in F[x]$, ktorý je generátorom ideálu $\{ f \in F[x] ~|~ f(u) = c\}$ ($\forall f \in F[x]$ teda
+         platí $f(u) = c \Leftrightarrow p|f$).
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Ak \underline{$p$ je minimálny} polynóm prvku $u$ algebraického nad poľom $F$, tak
+         \underline{$p$ je ireducibilný} nad $F$.
+         Jednoduché algebraické rozšírenie $F(u)$ sa potom rovná okruhu $F[u] = \{f(u) ~|~ t \in F[x]\}$
+         (TODO: check this), ktorý je izomorfný s faktorovým okruhom.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         \underline{Stupňom} algebraického prvku $u$ nad poľom $F$ nazývame stupeň $n$ jeho minimálneho
+         polynómu nad $F$. Stupeň $n$ nad $F$ označujeme $n = [u:F]$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Hovoríme, že pole $F'$ je \underline{konečným (nekonečným) rozšírením} poľa $F$, ak $F'$ je
+         konečnorozmerným (nekonečnorozmerným) vektorovým priestorom nad $F$.
+         \underline{Stupeň rozšírenia} je $[F':F] := dim~F'~nad~F$.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Nech $F'$ je konečné rozšírenie $F$, $F''$ je konečné rozšírenie $F'$. Potom $F''$ je konečné
+         rozšírenie $F$ a platí: $$[F'':F] = [F'':F'] \cdot [F':F]$$
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Pole $F'$ nazývame \underline{$k$-násobným algebraickým rozšírením} poľa $F$, ak existujú prvky
+         $u_1, u_2, ..., u_k \in F'$ a postupnosť jednotlivých algebraických rozšírení
+         $$F_1 = F(u_1), F_2 = F_1(u_2), ..., F_k = F_{k-1}(u_k) = F'$$
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Ak $u$ je algebraický nad $F$, tak rozšírenie $F(u)$ je konečné nad $F$ a platí $[F(u):F] =
+         [u:F]$.
+         Opačne, ak $F'$ je konečné rozšírenie nad $F$, tak každý prvok $u \in F'$ je algebraický nad $F$
+         a platí $[u:F] \le [F':F]$.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Konečné polia} % /*
+ \begin{veta}
+         Nech $[F':F] = n$ a $|F| = q$. Potom $|F'| = q^n$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Ak $F$ je konečné pole charakteristiky $p$, tak existuje $m \in \mathbb{N}$ také, že $|F| =
+         p^n$ (pritom platí, že charakteristika ľubovoľného poľa je prvočíslo alebo $0$).
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Každý prvok z poľa $F$, pričom $|F| = q$, je koreňom polynómu $x^p - x \in F[x]$.
+ \end{veta}
+ \begin{defn}
+         Pole $F' \supset F$ nazývame \underline{rozkladovým poľom} polynómu $f(x) \in F[x]$, ak je
+         najmenším poľom, nad ktorým sa dá polynóm $f(x)$ napísať v tvare súčinu lineárnych činiteľov.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Ak $p$ je ireducibilný polynóm nad poľom $F$, tak existuje jednoduché algebraické rozšírenie
+         $F(u)$ generované koreňom polynómu $p$ (napr. $F[x]/p(x)$).
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Pre každý polynóm $f$ nad poľom $F, st~f > 0$, existuje rozkladové pole $f$ nad $F$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Ak $L, L'$ sú rozkladové polia polynómu $f$ nad $F$, tak $L$ je izomorfné s $L'$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Pre každé číslo tvaru $q = p^n$, kde $p$ je prvočíslo, $n \in \mathbb{N}, n > 0$, existuje
+         (okrem izomorfizmu) práve jedno $q$-prvkové pole. Je to rozkladové pole polynómu $x^q - x$ nad
+         $\mathbb{Z}_p$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Každé dve končné polia s rovnakým počtom prvkov sú izomorfné.
+ \end{veta}
+ % */
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.8
 


changed lines


 
Added in v.1.9
 Legend:


Removed from v.1.8
 


changed lines


 
Added in v.1.9
-Removed from v.1.8
+Added in v.1.9


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top