Platon Technologies
not logged in Login Registration
EnglishSlovak
open source software development celebrating 10 years of open source development! Friday, October 16, 2026
[BACK] [TXT][DIR] Up to [Platon] / doc / statnica-matematika

Diff for doc/statnica-matematika/02-algebra.tex between version 1.9 and 1.10

version 1.9, 2005/01/18 18:18:42 version 1.10, 2005/02/03 09:44:18
Line 10 
Line 10 
 % 2005-01-15 - created  % 2005-01-15 - created
 %  %
   
 % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.8 2005/01/18 16:19:57 nepto Exp $  % $Platon: doc/statnica-matematika/02-algebra.tex,v 1.9 2005/01/18 18:18:42 nepto Exp $
   
 \chapter{Algebra}  \chapter{Algebra}
   
Line 373  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
Line 373  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
 \end{defn}  \end{defn}
   
 \begin{defn}  \begin{defn}
         \underline{Minor prislúchajúci prvku $a_{ij}$} je determinant matice, ktorá vznikne vypustením          \underline{Minor prislúchajúci prvku $a_{ij}$} je matica, ktorá vznikne vypustením
         $i$-teho riadka a $j$-teho stĺpca. Označujeme $M_{ij}$. Ak $i=j$, hovoríme o~\underline{hlavnom          $i$-teho riadka a $j$-teho stĺpca. Označujeme $M_{ij}$. Ak $i=j$, hovoríme o~\underline{hlavnom
         minore}.          minore}.
 \end{defn}  \end{defn}
Line 487  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
Line 487  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
 \begin{veta}  \begin{veta}
         Ortogonálne vektory Euklidovského vektorového priestoru sú lineárne nezávislé.          Ortogonálne vektory Euklidovského vektorového priestoru sú lineárne nezávislé.
   
         Ak je počet ortogonálnych vektorov taký aká je dimenzia priestoru, potom tvoria bázu priestoru.          Ak je počet ortogonálnych vektorov taký aká je dimenzia priestoru, potom tvoria ortogonálnu bázu priestoru.
         Ak sú navyše ortonormálne, tvoria ortonormálnu bázu.          Ak sú navyše ortonormálne, tvoria ortonormálnu bázu.
 \end{veta}  \end{veta}
   
Line 500  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
Line 500  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
 \begin{example}  \begin{example}
         $\alpha_1 = (1, 0, 0, 1), \alpha_2 = (0, 1, 0, 2), \alpha_3 = (0, 0, 1, 2)$\\          $\alpha_1 = (1, 0, 0, 1), \alpha_2 = (0, 1, 0, 2), \alpha_3 = (0, 0, 1, 2)$\\
         $\beta_1 = \alpha_1 = (1, 0, 0, 1)$\\          $\beta_1 = \alpha_1 = (1, 0, 0, 1)$\\
         $\beta_2 = \alpha_2 + c_{21} \beta_1$, takže $\angle{\beta_1, \beta_2} = 0 => c_{21} =>          $\beta_2 = \alpha_2 + c_{21} \beta_1$, takže $\angle{\beta_1, \beta_2} = 0 \Rightarrow c_{21}
         \beta_2$\\          \Rightarrow \beta_2$\\
         $\beta_3 = \alpha_3 + c_{32} \beta_2 + c_{31} \beta_1$, takže $\angle{\beta_1, \beta_3} = 0          $\beta_3 = \alpha_3 + c_{32} \beta_2 + c_{31} \beta_1$, takže $\angle{\beta_1, \beta_3} = 0
         \land \angle{\beta_2, \beta_3} = 0 => c_{32}, c_{31} => \beta_3$          \land \angle{\beta_2, \beta_3} = 0 \Rightarrow c_{32}, c_{31} \Rightarrow \beta_3$
   
         Nakoniec $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ normalizujeme.          Nakoniec $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ normalizujeme.
 \end{example}  \end{example}
Line 521  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
Line 521  Usporiadaná trojica $(A, +, \circ)$ sa n
   
 \begin{defn}  \begin{defn}
         Kvadratická forma $f(x,y) = x A y^T$ je \underline{kladne defnitná}, keď pre $x \ne 0, y \ne 0$          Kvadratická forma $f(x,y) = x A y^T$ je \underline{kladne defnitná}, keď pre $x \ne 0, y \ne 0$
         je vždy $f \ge 0$.          je vždy $f > 0$.
   
         Ak pre $x \ne 0, y \ne 0$ je $f \ge 0$, hovoríme o \underline{kladnej seminidefinitnosti}.          Ak pre $x \ne 0, y \ne 0$ je $f \ge 0$, hovoríme o \underline{kladnej seminidefinitnosti}.
 \end{defn}  \end{defn}
Line 665  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
Line 665  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 \end{defn}  \end{defn}
   
 \begin{defn}  \begin{defn}
         Nech $a \in G$. Najmenšie kladné celé číslo $k$ s vlastnosťou $a^k = e$ nazývame \underline{rád          Nech $a \in G$. Najmenšie kladné celé číslo $k > 0$ s vlastnosťou $a^k = e$ nazývame \underline{rád
         prvku $a$}. Ak také číslo neexsituje, rád prvku je $\infty$.          prvku $a$}. Ak také číslo neexsituje, rád prvku je $\infty$.
 \end{defn}  \end{defn}
   
Line 749  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
Line 749  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
         Množina $^G|_H$ tvorí grupu vzhľadom na operáciu násobenia tried po prvkoch $(Ha)(Hb) = Hab$.          Množina $^G|_H$ tvorí grupu vzhľadom na operáciu násobenia tried po prvkoch $(Ha)(Hb) = Hab$.
         \begin{itemize}          \begin{itemize}
                 \item ak $G$ je komutatívna, tak aj $^G|_H$ je komutatívna                  \item ak $G$ je komutatívna, tak aj $^G|_H$ je komutatívna
                 \item ak $G$ je cyklická, tak aj $^G|_H$ je cysklická                  \item ak $G$ je cyklická, tak aj $^G|_H$ je cyklická
                 \item neutrálny prvok $He = H$                  \item neutrálny prvok $He = H$
                 \item inverzný prvok $(Ha)^{-1} = Ha^{-1}$                  \item inverzný prvok $(Ha)^{-1} = Ha^{-1}$
         \end{itemize}          \end{itemize}
Line 770  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
Line 770  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 \begin{defn}  \begin{defn}
         \underline{Cyklickou permutáciou} (alebo cyklom) prvkov $a_1, a_2, ..., a_k$ množiny $X$          \underline{Cyklickou permutáciou} (alebo cyklom) prvkov $a_1, a_2, ..., a_k$ množiny $X$
         nazývame permutáciu $\varphi$, ktorá každý prvok $a_i, i \in \{1, ..., k-1\}$ zobrazí na          nazývame permutáciu $\varphi$, ktorá každý prvok $a_i, i \in \{1, ..., k-1\}$ zobrazí na
         $a_{i+1}$ a $a_n$ zobrazí na $a_1$ a ostatné prvky množiny ponechá na mieste (TODO: rephrase,          $a_{i+1}$ a $a_k$ zobrazí na $a_1$ a ostatné prvky množiny ponechá na mieste.
         very strange!).  
   
         Číslo $k$ nazývame \underline{dĺžka cyklu}.          Číslo $k$ nazývame \underline{dĺžka cyklu}.
 \end{defn}  \end{defn}
Line 787  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
Line 786  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 \end{veta}  \end{veta}
   
 \begin{veta}  \begin{veta}
         Rád permutácie, ktorá je súčinom navzájom disjnuktných cyklov je najmenší spoločný násobok ich          \underline{Rád permutácie}, ktorá je súčinom navzájom disjnuktných cyklov je najmenší spoločný násobok ich
         dĺžok.          dĺžok.
 \end{veta}  \end{veta}
   
Line 808  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
Line 807  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
         \underline{Okruhom} rozumieme usporiadanú trojicu $(A, +, \cdot)$, kde          \underline{Okruhom} rozumieme usporiadanú trojicu $(A, +, \cdot)$, kde
         \begin{enumerate}          \begin{enumerate}
                 \item $(A, +)$ je komutatívna grupa                  \item $(A, +)$ je komutatívna grupa
                 \item $\cdot$ je asociatívna binárna operácia distributívna vzhľadom na $+$                  \item $\cdot$ je asociatívna binárna operácia
                   \item $\cdot$ je distributívna operácia vzhľadom na $+$
         \end{enumerate}          \end{enumerate}
   
         Ak $\cdot$ je komutatívna, tak hovoríme o \underline{komutatívnom okruhu}.\\          Ak $\cdot$ je komutatívna, tak hovoríme o \underline{komutatívnom okruhu}.\\
Line 825  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
Line 825  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 \end{defn}  \end{defn}
   
 \begin{defn}  \begin{defn}
         Hovoríme, že okruh $A$ je \underline{izomorfný} s okruhom $A'$, ak existuje bijekcia $\varphi: A  
         \to A'$ taká, že zachováva sčitovanie a násobenie.  
 \end{defn}  
   
 \begin{defn}  
         \underline{Charakteristikou} okruhu $A$ nazývame najmenšie prirodzené číslo $k > 0$ také, že $k          \underline{Charakteristikou} okruhu $A$ nazývame najmenšie prirodzené číslo $k > 0$ také, že $k
         \times a = 0$ pre $\forall a \in A$, kde $k \times a = \underbrace{a + a + ... +          \times a = 0$ pre $\forall a \in A$, kde $k \times a = \underbrace{a + a + ... +
         a}_{\textrm{$k$-krát}}$          a}_{\textrm{$k$-krát}}$
Line 845  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
Line 840  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
 \end{defn}  \end{defn}
   
 \begin{defn}  \begin{defn}
           Hovoríme, že okruh $A$ je \underline{izomorfný} s okruhom $A'$, ak existuje bijekcia $\varphi: A
           \to A'$ taká, že zachováva sčitovanie a násobenie.
   \end{defn}
   
   \begin{defn}
         \underline{Homomorfizmus} okruhu $(A, +, \cdot)$ do okruhu $(B, \oplus, \odot)$ je každé          \underline{Homomorfizmus} okruhu $(A, +, \cdot)$ do okruhu $(B, \oplus, \odot)$ je každé
         zobrazenie $f: A \to B$, o ktorom platí:          zobrazenie $f: A \to B$, o ktorom platí:
         \begin{enumerate}          \begin{enumerate}
Line 938  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
Line 938  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
   
 \begin{defn}  \begin{defn}
         Hovoríme, že $x \in A$ \underline{generuje ideál $I$} komutatívneho okruhu $A$ s jednotkou, ak          Hovoríme, že $x \in A$ \underline{generuje ideál $I$} komutatívneho okruhu $A$ s jednotkou, ak
         $I = xA = \{ xa ~|~ x \in A \}$.          $I = xA = \{ xa ~|~ a \in A \}$.
   
         Ideál $I$ generovaný nejakým $x \in A$ nazývame \underline{hlavný}.          Ideál $I$ generovaný nejakým $x \in A$ nazývame \underline{hlavný}.
 \end{defn}  \end{defn}
Line 1008  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
Line 1008  Usporiadaná dvojica $(G, *)$ sa nazýva \
         ďalej $x \in B$. Hovoríme, že okruh $A[x]$ je \underline{okruh polynómov v neurčitej $x$} nad          ďalej $x \in B$. Hovoríme, že okruh $A[x]$ je \underline{okruh polynómov v neurčitej $x$} nad
         okruhom $A$, ak pre ľubovoľné $f(x), g(x) \in A[x]$ platí $f(x) = g(x) \Leftrightarrow$          okruhom $A$, ak pre ľubovoľné $f(x), g(x) \in A[x]$ platí $f(x) = g(x) \Leftrightarrow$
         postupnosti ich koeficientov sa rovnajú.          postupnosti ich koeficientov sa rovnajú.
   
         (TODO: co to znamena)  
 \end{defn}  \end{defn}
   
 \begin{veta}  \begin{veta}
Legend:
Removed from v.1.9  
changed lines
  Added in v.1.10
Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
Copyright © 2002-2006 Platon Group
Site powered by Metafox CMS 		Go to Top