Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-matematika/04-diskretna-matematika.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
Diff for doc/statnica-matematika/04-diskretna-matematika.tex between version 1.1 and 1.2


version 1.1, 2005/01/16 00:22:51
version 1.2, 2005/01/17 18:59:35



Line 10 




Line 10 




 % 2005-01-15 - created
 % 2005-01-15 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon$
 % $Platon: doc/statnica-matematika/04-diskretna-matematika.tex,v 1.1 2005/01/16 00:22:51 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Diskrétna matematika}
 \chapter{Diskrétna matematika}


 
 


 
 \section{Výroky a dôkazy} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Výrok} je:


 
         \begin{itemize}


 
                 \item tvrdenie, o ktorého pravdivosti alebo nepravdivosti má zmysel uvažovať


 
                 \item {\it pravdivý} alebo {\it nepravdivý}


 
                 \item oznamovacia veta


 
         \end{itemize}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Výroková forma} alebo formula je výrok, ktorý obsahuje premenné. Ak obsahuje


 
         kvantifikátory $\forall, \exists$ tak je to \underline{kvantifikovaná formula}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         \underline{Matematický dôkaz} tvrdenia $T$ je konečná postupnosť $a_1, a_2, ..., a_n$, kde $a_i$


 
         je výrok alebo formula a implikácie $a_1 \to a_2$, $a_2 \to a_3, ..., a_{n-1} \to a_n = T$ sú


 
         tautológie.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Základné typy dôkazov:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item Priamy


 
                 \item Nepriamy


 
                 \item Obmenou ($a \to b \equiv \lnot b \to \lnot a$)


 
                 \item Matematickou indukciou


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Relácie} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Relácia $\varphi$ je \underline{reláciou ekvivalencie} na $A$, ak spĺňa nasledujúce vlasnosti:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item \underline{reflexívnosť}: $\forall a \in A: (a, a) \in \varphi$


 
                 \item \underline{symetrickosť}: $\forall a, b \in A: (a, b) \in \varphi \Leftrightarrow (b, a)


 
                         \in \varphi$


 
                 \item \underline{tranzitívnosť}: $\forall a, b, c \in A: (a, b) \in \varphi \land (b, c)


 
                         \in \varphi \Rightarrow (a, c) \in \varphi$


 
         \end{enumerate}


 
         Príslušnosť $(a, b) \in \varphi$ značíme $a \sim b$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Majme nasledujúce vlastnosti relácie $\varphi$:


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item \underline{asymetrickosť}: $(a, b) \in \varphi \Rightarrow (b, a) \notin \varphi$


 
                 \item \underline{trichotomickosť}: $a \ne b \Rightarrow (a, b) \in \varphi \lor (b, a) \in


 
                         \varphi$


 
                 \item \underline{zobrazenie}: $\varphi \subseteq A \times B$ je zobrazenie ak $(\forall a \in A)


 
                         (\exists ! b \in B): (a, b) \in \varphi$


 
         \end{enumerate}


 
         Relácia sa nazýva \underline{čiastočné usporiadanie}, ak je tranzitívna a asymetrická.


 
         Relácia sa nazýva \underline{(lineárne) usporiadanie}, ak je tranzitívna, asymetrická a


 
         trichotomická.


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Množiny a mohutnosti} % /*


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Systém $\mathcal{S} \subseteq P(A)$ sa nazýva \underline{rozklad množiny $A$}, ak $\mathcal{S}$


 
         je systém po dvoch disjunktných neprázdnych množín s vlastnosťou $\bigcup_{M \in \mathcal{S}} M


 
         = A$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Majme reláciu ekvivalencie a definujme množinu $A(x)$ tak, že $A(x) = \{ y \in A ~|~ x \sim y \}$.


 
         Potom $\mathcal{S} = \{ A(x) \in P(A) ~|~ x \in A \}$ je rozklad množiny $A$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Množiny $A$ a $B$ majú \underline{rovnakú mohutnosť} ak existuje bijektívne zobrazenie


 
         $f: A \to B$. Značíme $|A| \equiv |B|$.


 
 


 
         Ak existuje injektívne zobrazenie $f: A \to B$, potom $|A| \le |B|$.\\


 
         Ak $|A| \le |B| \land |A| \ne |B|$, potom $|A| < |B|$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}


 
         Množina $A$ je \underline{spočítateľná} $\Leftrightarrow |A| = \aleph_0$.\\


 
         Množina $A$ je \underline{konečná} $\Leftrightarrow |A| < \aleph_0$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}[Kardinálne číslo]


 
         Množiny rozdelíme do tried ekvivalencie podľa počtu prvkov. Z každej triedy vyberieme jednu


 
         zastupujúcu množinu, tzv. \underline{kardinálne číslo}.


 
         $$


 
         \begin{array}{ccccl}


 
                 |X| & = & 0 & = & \emptyset\\


 
                 |X| & = & 1 & = & \{ \emptyset \} \\


 
                 |X| & = & 2 & = & \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \\


 
                 \vdots & & & & \\


 
         \end{array}


 
         $$


 
 


 
         Potom definujeme:


 
         \begin{itemize}


 
                 \item \underline{súčet}: $|A| + |B| = |A \times \{ \emptyset \} \cup B \times \{ \{


 
                         \emptyset \} \}|$


 
                 \item \underline{súčin}: $|A| \cdot |B| = |A \times B|$


 
                 \item \underline{mocnina}: $|A|^{|B|} = |\textrm{Množina $\forall$ zobrazení $f: B \to A$}|$


 
                 \end{itemize}


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 
 % TODO Kombinatorika


 
 


 
 \section{Vety}


 
 


 
 \begin{veta}[Cantor-Bernstein]


 
         $$|A| \le |B| \land |B| \le |A| \Rightarrow |A| = |B|$$


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Cantorova]


 
         Pre každú množinu $X$ platí $|X| < |P(x)|$, kde $P(X) = \{ Y ~|~ Y \in X \}$.


 
         (TODO maskralna blbost, neplati pre $\emptyset$ navyše $P(X)$ je zle zadefinovane)


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{dosledok}


 
         $$|X| < 2^{|X|} = P(X)$$


 
 \end{dosledok}


 
 


 
 \begin{dosledok}


 
         Neexistuje množina všetkých množín.


 
 \end{dosledok}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \begin{defn}


 
 \end{defn}


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/


 
 









Legend:


Removed from v.1.1
 


changed lines


 
Added in v.1.2


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
-version 1.1, 2005/01/16 00:22:51
+version 1.2, 2005/01/17 18:59:35
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2005-01-15 - created
  %
- % $Platon$
+ % $Platon: doc/statnica-matematika/04-diskretna-matematika.tex,v 1.1 2005/01/16 00:22:51 nepto Exp $
  \chapter{Diskrétna matematika}
+ \section{Výroky a dôkazy} % /*
+ \begin{defn}
+         \underline{Výrok} je:
+         \begin{itemize}
+                 \item tvrdenie, o ktorého pravdivosti alebo nepravdivosti má zmysel uvažovať
+                 \item {\it pravdivý} alebo {\it nepravdivý}
+                 \item oznamovacia veta
+         \end{itemize}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Výroková forma} alebo formula je výrok, ktorý obsahuje premenné. Ak obsahuje
+         kvantifikátory $\forall, \exists$ tak je to \underline{kvantifikovaná formula}.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         \underline{Matematický dôkaz} tvrdenia $T$ je konečná postupnosť $a_1, a_2, ..., a_n$, kde $a_i$
+         je výrok alebo formula a implikácie $a_1 \to a_2$, $a_2 \to a_3, ..., a_{n-1} \to a_n = T$ sú
+         tautológie.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Základné typy dôkazov:
+         \begin{enumerate}
+                 \item Priamy
+                 \item Nepriamy
+                 \item Obmenou ($a \to b \equiv \lnot b \to \lnot a$)
+                 \item Matematickou indukciou
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ % */
+ \section{Relácie} % /*
+ \begin{defn}
+         Relácia $\varphi$ je \underline{reláciou ekvivalencie} na $A$, ak spĺňa nasledujúce vlasnosti:
+         \begin{enumerate}
+                 \item \underline{reflexívnosť}: $\forall a \in A: (a, a) \in \varphi$
+                 \item \underline{symetrickosť}: $\forall a, b \in A: (a, b) \in \varphi \Leftrightarrow (b, a)
+                         \in \varphi$
+                 \item \underline{tranzitívnosť}: $\forall a, b, c \in A: (a, b) \in \varphi \land (b, c)
+                         \in \varphi \Rightarrow (a, c) \in \varphi$
+         \end{enumerate}
+         Príslušnosť $(a, b) \in \varphi$ značíme $a \sim b$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Majme nasledujúce vlastnosti relácie $\varphi$:
+         \begin{enumerate}
+                 \item \underline{asymetrickosť}: $(a, b) \in \varphi \Rightarrow (b, a) \notin \varphi$
+                 \item \underline{trichotomickosť}: $a \ne b \Rightarrow (a, b) \in \varphi \lor (b, a) \in
+                         \varphi$
+                 \item \underline{zobrazenie}: $\varphi \subseteq A \times B$ je zobrazenie ak $(\forall a \in A)
+                         (\exists ! b \in B): (a, b) \in \varphi$
+         \end{enumerate}
+         Relácia sa nazýva \underline{čiastočné usporiadanie}, ak je tranzitívna a asymetrická.
+         Relácia sa nazýva \underline{(lineárne) usporiadanie}, ak je tranzitívna, asymetrická a
+         trichotomická.
+ \end{defn}
+ % */
+ \section{Množiny a mohutnosti} % /*
+ \begin{defn}
+         Systém $\mathcal{S} \subseteq P(A)$ sa nazýva \underline{rozklad množiny $A$}, ak $\mathcal{S}$
+         je systém po dvoch disjunktných neprázdnych množín s vlastnosťou $\bigcup_{M \in \mathcal{S}} M
+         = A$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Majme reláciu ekvivalencie a definujme množinu $A(x)$ tak, že $A(x) = \{ y \in A ~|~ x \sim y \}$.
+         Potom $\mathcal{S} = \{ A(x) \in P(A) ~|~ x \in A \}$ je rozklad množiny $A$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Množiny $A$ a $B$ majú \underline{rovnakú mohutnosť} ak existuje bijektívne zobrazenie
+         $f: A \to B$. Značíme $|A| \equiv |B|$.
+         Ak existuje injektívne zobrazenie $f: A \to B$, potom $|A| \le |B|$.\\
+         Ak $|A| \le |B| \land |A| \ne |B|$, potom $|A| < |B|$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}
+         Množina $A$ je \underline{spočítateľná} $\Leftrightarrow |A| = \aleph_0$.\\
+         Množina $A$ je \underline{konečná} $\Leftrightarrow |A| < \aleph_0$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}[Kardinálne číslo]
+         Množiny rozdelíme do tried ekvivalencie podľa počtu prvkov. Z každej triedy vyberieme jednu
+         zastupujúcu množinu, tzv. \underline{kardinálne číslo}.
+         $$
+         \begin{array}{ccccl}
+                 |X| & = & 0 & = & \emptyset\\
+                 |X| & = & 1 & = & \{ \emptyset \} \\
+                 |X| & = & 2 & = & \{ \emptyset, \{ \emptyset \} \} \\
+                 \vdots & & & & \\
+         \end{array}
+         $$
+         Potom definujeme:
+         \begin{itemize}
+                 \item \underline{súčet}: $|A| + |B| = |A \times \{ \emptyset \} \cup B \times \{ \{
+                         \emptyset \} \}|$
+                 \item \underline{súčin}: $|A| \cdot |B| = |A \times B|$
+                 \item \underline{mocnina}: $|A|^{|B|} = |\textrm{Množina $\forall$ zobrazení $f: B \to A$}|$
+                 \end{itemize}
+ \end{defn}
+ % */
+ % TODO Kombinatorika
+ \section{Vety}
+ \begin{veta}[Cantor-Bernstein]
+         $$|A| \le |B| \land |B| \le |A| \Rightarrow |A| = |B|$$
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Cantorova]
+         Pre každú množinu $X$ platí $|X| < |P(x)|$, kde $P(X) = \{ Y ~|~ Y \in X \}$.
+         (TODO maskralna blbost, neplati pre $\emptyset$ navyše $P(X)$ je zle zadefinovane)
+ \end{veta}
+ \begin{dosledok}
+         $$|X| < 2^{|X|} = P(X)$$
+ \end{dosledok}
+ \begin{dosledok}
+         Neexistuje množina všetkých množín.
+ \end{dosledok}
+ % */
+ \begin{defn}
+ \end{defn}
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.1
 


changed lines


 
Added in v.1.2
 Legend:


Removed from v.1.1
 


changed lines


 
Added in v.1.2
-Removed from v.1.1
+Added in v.1.2


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top