Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-matematika/04-diskretna-matematika.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
Diff for doc/statnica-matematika/04-diskretna-matematika.tex between version 1.2 and 1.3


version 1.2, 2005/01/17 18:59:35
version 1.3, 2005/01/18 10:24:47



Line 10 




Line 10 




 % 2005-01-15 - created
 % 2005-01-15 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon: doc/statnica-matematika/04-diskretna-matematika.tex,v 1.1 2005/01/16 00:22:51 nepto Exp $
 % $Platon: doc/statnica-matematika/04-diskretna-matematika.tex,v 1.2 2005/01/17 18:59:35 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Diskrétna matematika}
 \chapter{Diskrétna matematika}


 
 




Line 129 




Line 129 




 
 


 % TODO Kombinatorika
 % TODO Kombinatorika


 
 


 \section{Vety}
 \section{Cantor-Bernsteinova veta} % /*


 
 


 \begin{veta}[Cantor-Bernstein]
 \begin{veta}[Cantor-Bernstein]


         $$|A| \le |B| \land |B| \le |A| \Rightarrow |A| = |B|$$
         $$|A| \le |B| \land |B| \le |A| \Rightarrow |A| = |B|$$


 \end{veta}
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{dokaz}


 
         Dokazujeme, že ak existuje injekcia $f: A \to B$ a zároveň injekcia $g: B \to A$, potom $|A| =


 
         |B|$. Vyjadríme si množiny $A_1 = g(B), A_2 = g(f(A)), A_3 = g(f(A_1))$. Dostávame $A \supseteq


 
         A_1 \supseteq A_2 \supseteq ... \supseteq A_k \supseteq ...$. Označme $D = \bigcap_{i=0}^\infty


 
         A_i$. Potom $A = D \cup (A - A_1) \cup (A_1 - A_2) \cup ...$ a tiež


 
                     $A_1 = D \cup (A_1 - A_2) \cup (A_2 - A_3) \cup ...$.\\


 
         \dots


 
 \end{dokaz}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Cantorova veta} % /*


 
 


 \begin{veta}[Cantorova]
 \begin{veta}[Cantorova]


         Pre každú množinu $X$ platí $|X| < |P(x)|$, kde $P(X) = \{ Y ~|~ Y \in X \}$.
         Pre každú množinu $X$ platí $|X| < |P(X)|$, kde $P(X) = \{ Y ~|~ Y \in X \}$.


         (TODO maskralna blbost, neplati pre $\emptyset$ navyše $P(X)$ je zle zadefinovane)
 


 
         (TODO masakralna blbost, neplati pre $\emptyset$ navyše $P(X)$ je zle zadefinovane)


 \end{veta}
 \end{veta}


 
 


 \begin{dosledok}
 \begin{dosledok}




Line 150 




Line 164 




 
 


 % */
 % */


 
 


 
 \section{Princíp zapojenia a vypojenia} % /*


 
 


 
 \begin{veta}[Zapojenie-vypojenie]


 
         Nech $A_1, A_2, ..., A_n$ sú konečné množiny. Pre $\forall k = 1, 2, ..., n$ položme $$S_k = \sum_{1 \le


 
         i_1 < i_2 < ... < i_k \le n} | A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap ... \cap A_{i_k}|$$ kde sumačný


 
         symbol sa vzťahuje na všetky podmnožiny $\{i_1, i_2, ..., i_k\}$ množiny $\{1, 2, ..., n\}$.


 
         Potom $$|A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n| = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} S_k$$


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{dokaz}


 
         Úvahou alebo matematickou indukciou vzhľadom na počet množín.


 
 \end{dokaz}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $S^A_B$ je množina všetkých surjektívnych zobrazení z $A$ do $B$. Nech $|A| = m$, $|B| =


 
         n$ a $B = \{ b_1, b_2, ..., b_n \}$. Potom $$|S^A_B| = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (n-k)^m$$


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{dokaz}


 
         Všetkých zobrazení je $n^m$. Musíme odpočítať počet nesurjekcií $|S'^A_B|$. To sú také


 
         zobrazenia $f: A \to [ B - \{ 1~prvok \} ]$. Takýchto zobrazení je $(n-1)^m$. Takýchto prvkov je


 
         ${n \choose 1}$, čize celkom je to ${n \choose 1}(n-1)^m$ zobrazení. Podobne pre dva prvky je to


 
         ${n \choose 2}(n-2)^m$. Pomocou princípu zapojenia a vypojenia dostávame celkový počet


 
         nesurjekcií: $$|S'^A_B| = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} {n \choose k} (n - k)^m$$ Výsledný počet


 
         zobrazení je teda $$|S^A_B| = n^m - |S'^A_B| = \sum_{k=1}^n (-1)^k {n \choose k} (n-k)^m$$


 
 \end{dokaz}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $A_1, A_2, ..., A_n$ sú konečné množiny. Nech $A(r)$ označuje počet prvkov, ktoré sa


 
         nachádzajú v práve $r$ množinách a $A'(r)$ označuje počet prvkov, ktoré sa nachádzajú v aspoň


 
         $r$ množinách. Potom


 
         $$ A(r) = \sum_{k=r}^n (-1)^{k-r} {k \choose r} S_k ~~~~~ r = 0, 1, ..., n$$


 
         $$ A'(r) = \sum_{k=r}^n (-1)^{k-r} {{k-1} \choose {r-1}} S_k ~~~~~ r = 1, 2, ..., n$$


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Dirichletov princíp} % /*


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $X, Y$ sú konečné množiny a $f$ je zobrazenie množiny $X$ do~$Y$. Ak $|X| > |Y|$, tak


 
         existuje také $y \in Y$, že aspoň pre dva rôzne prvky $x_1, x_2 \in X$ platí $f(x_1) = f(x_2) =


 
         y$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Nech $f$ je zobrazenie množiny $X$ do $Y$. Nech $\lambda \in \mathbb{N}^+$. Ak $\lambda \cdot


 
         |Y| < |X|$, tak $\exists y \in Y$ také, že množina $\{ x \in X ~|~ f(x) = y \}$ má mohutnosť


 
         väčšiu než $\lambda$.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Spernerova veta} % /*


 
 


 
 \begin{veta}[Spernerova]


 
         Nech $A$ je konečná množina o $n$ prvkoch a $A_1, A_2, ..., A_m$ sú jej neprázdne konečné


 
         podmnožiny také, že $A_i \notsubseteq A_j, i \ne j$, tj. nezapadajú do seba. Potom platí $$ m


 
         \le {n \choose {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}}$$ kde $|A| = n$, tj. $m$ je maximálny možný počet


 
         takých množín.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Ko:nigova veta} % /*


 
 


 
 \begin{veta}[Ko:nigova o strome]


 
         Nech každý vrchol stromu $T$ má konečný stupeň vetvenia. Ak mám nekonečný počet vrcholov, potom


 
         existuje v strome aspoň jedna nekonečne dlhá vetva.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Ramseyho čísla} % /*


 
 


 \begin{defn}
 \begin{defn}


 
         Každý graf, ktorý má aspoň $R(m, n)$ vrcholov buď obsahuje $K_m$ ako svoj podgraf, alebo


 
         doplnok grafu obsahuje $K_n$ ako svoj podgraf.


 \end{defn}
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}[E:rdos, Sekeres]


 
         Pre $m,n \ge 2$ platí: $$R(m, n) \le R(m, n - 1) + R(m - 1, n)$$


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Pre $m,n \ge 2$ platí: $$R(m, n) \le {m + n - 1 \choose n - 1}$$


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Ramseyho]


 
         Pre ľubovoľné $m, n \ge 2, m, n \in \mathbb{N}$ existuje prirodzené číslo $R(m, n)$ také, že pre


 
         každé číslo $r \ge R(m, n)$ platí, že pri ľubovoľnom zafarbení hrán grafu $K_r$ dvoma farbami v


 
         ňom existuje jednofarebný podgraf $K_m$ ofarbený prvou farbou alebo jednofarebný podgraf $K_n$


 
         ofarbený druhou farbou.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Systémy reprezentantov} % /*


 
 


 
 \begin{veta}[Hallova]


 
         Pre systém $M = (S_1, S_2, ..., S_m)$ existuje $m$-tica navzájom rôznych reprezentantov práve


 
         vtedy, keď zjednotenie ľubovoľných $k$-množín obsahuje aspoň $k$ prvkov.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}[Ko:nigova]


 
         V ľubovoľnej binárnej matici je najväčší počet po dvoch nezávislých jendotlivých prvkov rovný


 
         najmenšiemu počtu buniek pokrývajúcich všetky jednotky.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/


 
 









Legend:


Removed from v.1.2
 


changed lines


 
Added in v.1.3


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-matematika
-version 1.2, 2005/01/17 18:59:35
+version 1.3, 2005/01/18 10:24:47
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2005-01-15 - created
  %
- % $Platon: doc/statnica-matematika/04-diskretna-matematika.tex,v 1.1 2005/01/16 00:22:51 nepto Exp $
+ % $Platon: doc/statnica-matematika/04-diskretna-matematika.tex,v 1.2 2005/01/17 18:59:35 nepto Exp $
  \chapter{Diskrétna matematika}
 Line 129
 Line 129
 Line 129
  % TODO Kombinatorika
- \section{Vety}
+ \section{Cantor-Bernsteinova veta} % /*
  \begin{veta}[Cantor-Bernstein]
          $$|A| \le |B| \land |B| \le |A| \Rightarrow |A| = |B|$$
  \end{veta}
+ \begin{dokaz}
+         Dokazujeme, že ak existuje injekcia $f: A \to B$ a zároveň injekcia $g: B \to A$, potom $|A| =
+         |B|$. Vyjadríme si množiny $A_1 = g(B), A_2 = g(f(A)), A_3 = g(f(A_1))$. Dostávame $A \supseteq
+         A_1 \supseteq A_2 \supseteq ... \supseteq A_k \supseteq ...$. Označme $D = \bigcap_{i=0}^\infty
+         A_i$. Potom $A = D \cup (A - A_1) \cup (A_1 - A_2) \cup ...$ a tiež
+                     $A_1 = D \cup (A_1 - A_2) \cup (A_2 - A_3) \cup ...$.\\
+         \dots
+ \end{dokaz}
+ % */
+ \section{Cantorova veta} % /*
  \begin{veta}[Cantorova]
-         Pre každú množinu $X$ platí $|X| < |P(x)|$, kde $P(X) = \{ Y ~|~ Y \in X \}$.
+         Pre každú množinu $X$ platí $|X| < |P(X)|$, kde $P(X) = \{ Y ~|~ Y \in X \}$.
-         (TODO maskralna blbost, neplati pre $\emptyset$ navyše $P(X)$ je zle zadefinovane)
+         (TODO masakralna blbost, neplati pre $\emptyset$ navyše $P(X)$ je zle zadefinovane)
  \end{veta}
  \begin{dosledok}
-Line 150
+Line 164
 Line 150
 Line 164
  % */
+ \section{Princíp zapojenia a vypojenia} % /*
+ \begin{veta}[Zapojenie-vypojenie]
+         Nech $A_1, A_2, ..., A_n$ sú konečné množiny. Pre $\forall k = 1, 2, ..., n$ položme $$S_k = \sum_{1 \le
+         i_1 < i_2 < ... < i_k \le n} | A_{i_1} \cap A_{i_2} \cap ... \cap A_{i_k}|$$ kde sumačný
+         symbol sa vzťahuje na všetky podmnožiny $\{i_1, i_2, ..., i_k\}$ množiny $\{1, 2, ..., n\}$.
+         Potom $$|A_1 \cup A_2 \cup ... \cup A_n| = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} S_k$$
+ \end{veta}
+ \begin{dokaz}
+         Úvahou alebo matematickou indukciou vzhľadom na počet množín.
+ \end{dokaz}
+ \begin{veta}
+         Nech $S^A_B$ je množina všetkých surjektívnych zobrazení z $A$ do $B$. Nech $|A| = m$, $|B| =
+         n$ a $B = \{ b_1, b_2, ..., b_n \}$. Potom $$|S^A_B| = \sum_{k=0}^n (-1)^k {n \choose k} (n-k)^m$$
+ \end{veta}
+ \begin{dokaz}
+         Všetkých zobrazení je $n^m$. Musíme odpočítať počet nesurjekcií $|S'^A_B|$. To sú také
+         zobrazenia $f: A \to [ B - \{ 1~prvok \} ]$. Takýchto zobrazení je $(n-1)^m$. Takýchto prvkov je
+         ${n \choose 1}$, čize celkom je to ${n \choose 1}(n-1)^m$ zobrazení. Podobne pre dva prvky je to
+         ${n \choose 2}(n-2)^m$. Pomocou princípu zapojenia a vypojenia dostávame celkový počet
+         nesurjekcií: $$|S'^A_B| = \sum_{k=1}^n (-1)^{k+1} {n \choose k} (n - k)^m$$ Výsledný počet
+         zobrazení je teda $$|S^A_B| = n^m - |S'^A_B| = \sum_{k=1}^n (-1)^k {n \choose k} (n-k)^m$$
+ \end{dokaz}
+ \begin{veta}
+         Nech $A_1, A_2, ..., A_n$ sú konečné množiny. Nech $A(r)$ označuje počet prvkov, ktoré sa
+         nachádzajú v práve $r$ množinách a $A'(r)$ označuje počet prvkov, ktoré sa nachádzajú v aspoň
+         $r$ množinách. Potom
+         $$ A(r) = \sum_{k=r}^n (-1)^{k-r} {k \choose r} S_k ~~~~~ r = 0, 1, ..., n$$
+         $$ A'(r) = \sum_{k=r}^n (-1)^{k-r} {{k-1} \choose {r-1}} S_k ~~~~~ r = 1, 2, ..., n$$
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Dirichletov princíp} % /*
+ \begin{veta}
+         Nech $X, Y$ sú konečné množiny a $f$ je zobrazenie množiny $X$ do~$Y$. Ak $|X| > |Y|$, tak
+         existuje také $y \in Y$, že aspoň pre dva rôzne prvky $x_1, x_2 \in X$ platí $f(x_1) = f(x_2) =
+         y$.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Nech $f$ je zobrazenie množiny $X$ do $Y$. Nech $\lambda \in \mathbb{N}^+$. Ak $\lambda \cdot
+         |Y| < |X|$, tak $\exists y \in Y$ také, že množina $\{ x \in X ~|~ f(x) = y \}$ má mohutnosť
+         väčšiu než $\lambda$.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Spernerova veta} % /*
+ \begin{veta}[Spernerova]
+         Nech $A$ je konečná množina o $n$ prvkoch a $A_1, A_2, ..., A_m$ sú jej neprázdne konečné
+         podmnožiny také, že $A_i \notsubseteq A_j, i \ne j$, tj. nezapadajú do seba. Potom platí $$ m
+         \le {n \choose {\lfloor \frac{n}{2} \rfloor}}$$ kde $|A| = n$, tj. $m$ je maximálny možný počet
+         takých množín.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Ko:nigova veta} % /*
+ \begin{veta}[Ko:nigova o strome]
+         Nech každý vrchol stromu $T$ má konečný stupeň vetvenia. Ak mám nekonečný počet vrcholov, potom
+         existuje v strome aspoň jedna nekonečne dlhá vetva.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Ramseyho čísla} % /*
  \begin{defn}
+         Každý graf, ktorý má aspoň $R(m, n)$ vrcholov buď obsahuje $K_m$ ako svoj podgraf, alebo
+         doplnok grafu obsahuje $K_n$ ako svoj podgraf.
  \end{defn}
+ \begin{veta}[E:rdos, Sekeres]
+         Pre $m,n \ge 2$ platí: $$R(m, n) \le R(m, n - 1) + R(m - 1, n)$$
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Pre $m,n \ge 2$ platí: $$R(m, n) \le {m + n - 1 \choose n - 1}$$
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Ramseyho]
+         Pre ľubovoľné $m, n \ge 2, m, n \in \mathbb{N}$ existuje prirodzené číslo $R(m, n)$ také, že pre
+         každé číslo $r \ge R(m, n)$ platí, že pri ľubovoľnom zafarbení hrán grafu $K_r$ dvoma farbami v
+         ňom existuje jednofarebný podgraf $K_m$ ofarbený prvou farbou alebo jednofarebný podgraf $K_n$
+         ofarbený druhou farbou.
+ \end{veta}
+ % */
+ \section{Systémy reprezentantov} % /*
+ \begin{veta}[Hallova]
+         Pre systém $M = (S_1, S_2, ..., S_m)$ existuje $m$-tica navzájom rôznych reprezentantov práve
+         vtedy, keď zjednotenie ľubovoľných $k$-množín obsahuje aspoň $k$ prvkov.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}[Ko:nigova]
+         V ľubovoľnej binárnej matici je najväčší počet po dvoch nezávislých jendotlivých prvkov rovný
+         najmenšiemu počtu buniek pokrývajúcich všetky jednotky.
+ \end{veta}
+ % */
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.2
 


changed lines


 
Added in v.1.3
 Legend:


Removed from v.1.2
 


changed lines


 
Added in v.1.3
-Removed from v.1.2
+Added in v.1.3


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top