Opensource.Platon.SK CVS: doc/statnica-teoria-prog/02-teoria-vypocitatelnosti.tex - diff

   Up to  [Platon] / doc / statnica-teoria-prog
Diff for doc/statnica-teoria-prog/02-teoria-vypocitatelnosti.tex between version 1.1 and 1.2


version 1.1, 2006/08/17 08:04:27
version 1.2, 2006/08/17 09:25:30



Line 10 




Line 10 




 % 2006-08-17 - created
 % 2006-08-17 - created


 %
 %


 
 


 % $Platon: $
 % $Platon: doc/statnica-teoria-prog/02-teoria-vypocitatelnosti.tex,v 1.1 2006-08-17 08:04:27 nepto Exp $


 
 


 \chapter{Teória vypočítateľnosti}
 \chapter{Teória vypočítateľnosti}


 
 


 
 \section{Primitívna rekurzia} % /*


 
 


 
 \begin{defn}[Projekia]


 
         $n$-árnu funkciu $f$ nazývame $m$-tá {\it projekcia} na množine $\mathbb{X}$, ak $0 < m \le n$


 
         a~platí:


 
         $$


 
         \forall x_1 ... x_n: \lambda x_1 ... x_n (x_m)


 
         $$


 
         Označujeme $I^n_m$, teda $\forall x_1 ... x_n: I^n_m(x_1 ... x_n) = x_m$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}[Operácia skladania funkcií]


 
         Majme $m$-árne (čiastočne) funkcie $g, f_1 ... f_n$. Hovoríme, že (čiastočná) funkcia $g$ vzniká


 
         {\it operáciou skladania funkcií} ak existuje $n$-árna (čiastočná) funkcia $f$ taká, že platí:


 
         $$


 
         g(x_1 ... x_m) = f(f_1(x_1 ... x_m), ..., f_n(x_1 ... x_m))


 
         $$


 
         Označujeme $g = \mathcal{S}^{n+1}(f, f_1 ... f_n)$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}[Klon]


 
         Klonom (čiastočných) funkcií nazývame takú množinu (čiastočných) funkcií, ktorá obsahuje všetky


 
         projekcie a je uzavretá vzhľadom na operáciu skladania (čiastočných) funkcií.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}[Operácia primitívnej rekurzie]


 
 Majme $n+1$-árnu čiastočnú funkciu~$f$. Ďalej majme $n$-árnu čiastočnú funkciu $h$ a $n+2$-árnu


 
 čiastočnú funkciu $g$. Hovoríme, že čiastočná funkcia~$f$ vzniká z funkcií $g$ a $h$ {\it operáciou


 
 primitívnej rekurzie}, ak platí:


 
 $$


 
 \begin{array}{rcl}


 
 f(0, x_1 ... x_n) & = & h(x_1 ... x_n)\\


 
 f(y+1, x_1 ... x_n) & = & g(y, f(y, x_1 ... x_n), x_1 ... x_n)


 
 \end{array}


 
 $$


 
 


 
 Označujeme $f = \mathcal{R}(g, h)$.


 
 


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}[Primitívne rekurzívna funkcia]


 
         Funkciu $f$ nazývame {\it primitívne rekurzívna}, ak vzniká z funkcií


 
 


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $0$ (konštnatná nulová funkcia)


 
                 \item $s$ (successor)


 
                 \item $I^n_m$ ($m$-tá projekcia $n$-árnej funkcie)


 
                 \end{enumerate}


 
 


 
         konečným počtom týchto operácií:


 
 


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item operácia skladania funkcií


 
                 \item operácia primitívnej rekurzie


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 % */


 
 


 
 \section{Minimalizácia} % /*


 
 


 
 \begin{defn}[Operácia minimalizácie]


 
 


 
         Majme $n+1$-árnu čiastočnú funkciu~$g$. Ďalej majme $n$-árnu čiastočnú funkciu $f$. Hovoríme, že


 
         funkcia $f$ vzniká z~funkcie~$g$ {\it operáciou minimalizácie}, ak:


 
         $$


 
         \forall x_1 ... x_n: f(x_1 ... x_n) = y \iff \forall z<y: g(z, x_1 ... x_n) > 0 \land g(y, x_1


 
         ... x_n) = 0


 
         $$


 
         Označujeme $f = \mathcal{M}(g)$ alebo $f(x_1 ... x_n) = \mu_y(g(y, x_1 ... x_n) = 0)$.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}[Operácia regulárnej minimalizácie]


 
         Nech $f = \mathcal{M}(g)$ a nech $f$ a $g$ sú totálne funkcie. Potom hovoríme, že funkcia $f$ vzniká


 
         z~funkcie $g$ operáciou {\it regulárnej minimalizácie}.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}[Čiastočne rekurzívna funkcia]


 
         Čiastočnú funkciu $f$ nazývame {\it čiastočne rekurzívna}, ak vzniká z funkcií


 
 


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item $0$ (konštnatná nulová funkcia)


 
                 \item $s$ (successor)


 
                 \item $I^n_m$ ($m$-tá projekcia $n$-árnej funkcie)


 
                 \end{enumerate}


 
 


 
         konečným počtom týchto operácií:


 
 


 
         \begin{enumerate}


 
                 \item operácia skladania funkcií


 
                 \item operácia primitívnej rekurzie


 
                 \item operácia minimalizácie


 
         \end{enumerate}


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{defn}[Rekurzívna funkcia]


 
         Funkciu $f$ nazývame {\it rekurzívna}, ak spĺňa všetky podmienky čiastočne rekurzívnej funkcie a


 
         nie je tvorená operáciou minimalizácie, ale operáciou regulárnej minimalizácie.


 
 \end{defn}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Každá primitívne rekurzívna funkcia je rekurzívna funkcia.


 
 \end{veta}


 
 


 
 \begin{veta}


 
         Každá rekurzívna funkcia je čiastočne rekurzívna funkcia.


 
 \end{veta}


 
 


 
 % */


 
 


 % vim: ts=4 tw=100
 % vim: ts=4 tw=100


 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/


 
 









Legend:


Removed from v.1.1
 


changed lines


 
Added in v.1.2


















Platon Group <platon@platon.org> http://platon.org/
  Up to  [Platon] / doc / statnica-teoria-prog
-version 1.1, 2006/08/17 08:04:27
+version 1.2, 2006/08/17 09:25:30
 Line 10
 Line 10
 Line 10
  % 2006-08-17 - created
  %
- % $Platon: $
+ % $Platon: doc/statnica-teoria-prog/02-teoria-vypocitatelnosti.tex,v 1.1 2006-08-17 08:04:27 nepto Exp $
  \chapter{Teória vypočítateľnosti}
+ \section{Primitívna rekurzia} % /*
+ \begin{defn}[Projekia]
+         $n$-árnu funkciu $f$ nazývame $m$-tá {\it projekcia} na množine $\mathbb{X}$, ak $0 < m \le n$
+         a~platí:
+         $$
+         \forall x_1 ... x_n: \lambda x_1 ... x_n (x_m)
+         $$
+         Označujeme $I^n_m$, teda $\forall x_1 ... x_n: I^n_m(x_1 ... x_n) = x_m$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}[Operácia skladania funkcií]
+         Majme $m$-árne (čiastočne) funkcie $g, f_1 ... f_n$. Hovoríme, že (čiastočná) funkcia $g$ vzniká
+         {\it operáciou skladania funkcií} ak existuje $n$-árna (čiastočná) funkcia $f$ taká, že platí:
+         $$
+         g(x_1 ... x_m) = f(f_1(x_1 ... x_m), ..., f_n(x_1 ... x_m))
+         $$
+         Označujeme $g = \mathcal{S}^{n+1}(f, f_1 ... f_n)$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}[Klon]
+         Klonom (čiastočných) funkcií nazývame takú množinu (čiastočných) funkcií, ktorá obsahuje všetky
+         projekcie a je uzavretá vzhľadom na operáciu skladania (čiastočných) funkcií.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}[Operácia primitívnej rekurzie]
+ Majme $n+1$-árnu čiastočnú funkciu~$f$. Ďalej majme $n$-árnu čiastočnú funkciu $h$ a $n+2$-árnu
+ čiastočnú funkciu $g$. Hovoríme, že čiastočná funkcia~$f$ vzniká z funkcií $g$ a $h$ {\it operáciou
+ primitívnej rekurzie}, ak platí:
+ $$
+ \begin{array}{rcl}
+ f(0, x_1 ... x_n) & = & h(x_1 ... x_n)\\
+ f(y+1, x_1 ... x_n) & = & g(y, f(y, x_1 ... x_n), x_1 ... x_n)
+ \end{array}
+ $$
+ Označujeme $f = \mathcal{R}(g, h)$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}[Primitívne rekurzívna funkcia]
+         Funkciu $f$ nazývame {\it primitívne rekurzívna}, ak vzniká z funkcií
+         \begin{enumerate}
+                 \item $0$ (konštnatná nulová funkcia)
+                 \item $s$ (successor)
+                 \item $I^n_m$ ($m$-tá projekcia $n$-árnej funkcie)
+                 \end{enumerate}
+         konečným počtom týchto operácií:
+         \begin{enumerate}
+                 \item operácia skladania funkcií
+                 \item operácia primitívnej rekurzie
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ % */
+ \section{Minimalizácia} % /*
+ \begin{defn}[Operácia minimalizácie]
+         Majme $n+1$-árnu čiastočnú funkciu~$g$. Ďalej majme $n$-árnu čiastočnú funkciu $f$. Hovoríme, že
+         funkcia $f$ vzniká z~funkcie~$g$ {\it operáciou minimalizácie}, ak:
+         $$
+         \forall x_1 ... x_n: f(x_1 ... x_n) = y \iff \forall z<y: g(z, x_1 ... x_n) > 0 \land g(y, x_1
+         ... x_n) = 0
+         $$
+         Označujeme $f = \mathcal{M}(g)$ alebo $f(x_1 ... x_n) = \mu_y(g(y, x_1 ... x_n) = 0)$.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}[Operácia regulárnej minimalizácie]
+         Nech $f = \mathcal{M}(g)$ a nech $f$ a $g$ sú totálne funkcie. Potom hovoríme, že funkcia $f$ vzniká
+         z~funkcie $g$ operáciou {\it regulárnej minimalizácie}.
+ \end{defn}
+ \begin{defn}[Čiastočne rekurzívna funkcia]
+         Čiastočnú funkciu $f$ nazývame {\it čiastočne rekurzívna}, ak vzniká z funkcií
+         \begin{enumerate}
+                 \item $0$ (konštnatná nulová funkcia)
+                 \item $s$ (successor)
+                 \item $I^n_m$ ($m$-tá projekcia $n$-árnej funkcie)
+                 \end{enumerate}
+         konečným počtom týchto operácií:
+         \begin{enumerate}
+                 \item operácia skladania funkcií
+                 \item operácia primitívnej rekurzie
+                 \item operácia minimalizácie
+         \end{enumerate}
+ \end{defn}
+ \begin{defn}[Rekurzívna funkcia]
+         Funkciu $f$ nazývame {\it rekurzívna}, ak spĺňa všetky podmienky čiastočne rekurzívnej funkcie a
+         nie je tvorená operáciou minimalizácie, ale operáciou regulárnej minimalizácie.
+ \end{defn}
+ \begin{veta}
+         Každá primitívne rekurzívna funkcia je rekurzívna funkcia.
+ \end{veta}
+ \begin{veta}
+         Každá rekurzívna funkcia je čiastočne rekurzívna funkcia.
+ \end{veta}
+ % */
  % vim: ts=4 tw=100
  % vim600: fdl=0 fdm=marker fdc=0 fmr=/*,*/
 Legend:


Removed from v.1.1
 


changed lines


 
Added in v.1.2
 Legend:


Removed from v.1.1
 


changed lines


 
Added in v.1.2
-Removed from v.1.1
+Added in v.1.2


Copyright © 2002-2006 Platon Group Site powered by Metafox CMS	Go to Top